1. Zadatak

Neka je

$$a_n=\lfloor\sqrt[4]{1}\rfloor+\ldots+\lfloor\sqrt[4]{n}\rfloor.$$

Trebamo riješiti jednadžbu

$$a_n=\frac32n+1. \tag{*}$$

Primijetimo da je $\lfloor\sqrt[4]{k}\rfloor=1$ za $1\leq k<16$.

Zato za $1\leq n\leq15$ vrijedi $a_n=n$. Među tim brojevima nema brojeva za koje vrijedi dana jednakost.

Jednakost $\lfloor\sqrt[4]{k}\rfloor=2$ vrijedi za $16\leq k<81$.

Zato za $16\leq n\leq80$ vrijedi

$$a_n=1+1+\ldots+1+2+\ldots+2=15+2\cdot(n-15)=2n-15.$$

Da bi za $16\leq n\leq80$ vrijedila jednakost $(*)$ mora biti

$$2n-15=\frac32n+1.$$

Dobivamo jedno rješenje $n=32$ i to je jedino rješenje zadatka manje od 81.

Drugih (većih) rješenja nema, jer nakon $n=81$ s porastom broja $n$ za 1, vrijednost lijeve strane se povećava za najmanje 3, a vrijednost na desnoj strani za $\frac32$, pa će lijeva strana ostati veća od desne.