5. Zadatak

Neka je $x$ broj cesta između gradova $B$ i $C$; $y$ broj cesta između gradova $C$ i $A$; $z$ broj cesta između gradova $A$ i $B$.

Tada je npr. broj indirektnih cestovnih veza između $A$ i $C$ (preko $B$) jednak $z\cdot x$.

Sada uvjet zadatka možemo zapisati u obliku dviju jednadžbi:

$$xy+z=43,\qquad yz+x=29.$$

Oduzimanjem ovih jednadžbi dobivamo $xy-yz+z-x=43-29$, odnosno

$$(x-z)(y-1)=14.$$

Kako su $x,y,z$ prirodni brojevi, dobivamo četiri mogućnosti

$$\begin{aligned} x-z&=14 & x-z&=7 & x-z&=2 & x-z&=1,\\ y-1&=1 & y-1&=2 & y-1&=7 & y-1&=14, \end{aligned}$$

pa dalje slijedi

$$y=2\qquad y=3\qquad y=8\qquad y=15.$$

Sada koristeći $xy+z=43$ dobivamo sustave

$$\begin{aligned} x-z&=14 & x-z&=7 & x-z&=2 & x-z&=1,\\ 2x+z&=43 & 3x+z&=43 & 8x+z&=43 & 15x+z&=43. \end{aligned}$$

U prvom slučaju je $x=19$, $y=2$, $z=5$, a u trećem slučaju $x=5$, $y=8$, $z=3$. U preostala dva slučaja rješenja nisu cjelobrojna.

Ukupan broj cestovnih linija između $A$ i $C$ jednak je $xz+y$, pa može biti jednak 97 ili 23.