1. Zadatak

Neka je $A=x^2-x$ i $B=x^4-x$.

Uočimo najprije da je $A=0$ samo za $x=0$ i $x=1$, a to su cijeli brojevi. Stoga možemo uzeti da je $A\ne0$.

Vrijedi $A^2=x^4-2x^3+x^2$ pa je

$$\begin{aligned} B-A^2&=2x^3-x^2-x\\ &=2x^3-2x^2+x^2-x\\ &=2x^3-2x^2+A\\ &=2x(x^2-x)+A\\ &=2x\cdot A+A. \end{aligned}$$

tj. $B-A^2-A=2xA$. Dakle,

$$x=\frac{B}{2A}-\frac{A+1}{2},$$

pa je $x$ racionalan broj.

Zapišimo $x$ u obliku neskrativog razlomka, $x=\frac pq$. Tada je

$$A=\frac{p^2}{q^2}-\frac pq=\frac{p(p-q)}{q^2}$$

što ne može biti cijeli broj ako je $q>1$, jer su $p$ i $q$ relativno prosti. Stoga mora biti $q=1$ pa je $x$ cijeli broj što smo i htjeli pokazati.

Napomena: Do zaključka da je $x$ racionalan broj možemo doći na razne načine. Npr.

$$2x=(x^2+x)-(x^2-x)=\frac{B-A}{A}-A.$$