5. Zadatak
Može li skakač obići ploču dimenzija i vratiti se na polazno polje tako da pritom stane na svako polje točno jednom?
Skakač je figura koja se kreće kao u šahu: s polja označenog kružićem može se pomaknuti na jedno od osam polja označenih križićima (ako je to polje na ploči).
Rješenje
Obojimo ploču šahovski crnom i bijelom bojom (susjedna polja imaju različitu boju). Primijetimo da se pri svakom potezu mijenja boja polja na kojem se skakač nalazi.
Nadalje, označimo polja u prvom i četvrtom retku kružićem, a polja u drugom i trećem retku križićem. Skakač mora s polja označenog kružićem skočiti na polje označeno križićem.
Pretpostavimo da postoji način da skakač posjeti svako polje točno jednom i vrati se na početak. Broj polja označenih križićem je jednak broju polja označenih kružićem. Tada skakač mora s polja označenog križićem (2. i 3. redak) skočiti na polje označeno kružićem (1. i 4. redak) jer bi skakanje s križića na križić značilo da u nekom trenutku moramo skočiti s kružića na kružić što je nemoguće.
Skakač u nekom trenutku mora doći na bijelo polje označeno kružićem. U sljedećem potezu dolazi na crno polje označeno križićem, pa onda opet na bijelo polje označeno kružićem itd. Isto zaključivanje možemo provesti i “unatrag”: neposredno prije dolaska na bijelo polje označeno kružićem, skakač je morao biti na crnom polju označenom križićem, itd.
Zato nikad ne dolazi na bijelo polje označeno križićem, što je kontradikcija s pretpostavkom da skakač posjećuje svako polje.