3. Zadatak

Jednakokračnom trokutu $ABC$ ( $|AB|=|AC|$ ) opisana je kružnica. Tangente te kružnice s diralištima u točkama $A$ i $C$ sijeku se u točki $D$ . Ako je $\angle DBC=30^\circ$ , dokaži da je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Rješenje

Prvo rješenje.

Neka su $BCE$ i $ECF$ jednakostranični trokuti tako da su $A$ i $E$ s iste strane pravca $BC$ , a $B$ i $F$ s različitih strana pravca $CE$ .

Pretpostavimo da je $E$ različita od $A$ jer u suprotnom tvrdnja vrijedi.

Prvi službeni geometrijski dijagram

Budući da je kut $\angle FBC=30^\circ$ , dakle $\angle FBC=\angle DBC$ , zaključujemo da su $B$ , $F$ i $D$ kolinearne točke.

Trokuti $DFC$ i $DFE$ su sukladni (SKS) pa je $|DE|=|DC|=|DA|$ , no kako je $AE$ okomito na $BC$ pa tako i na $AD$ , iz pravokutnog trokuta $DAE$ vidimo da je $|DE|>|DA|$ . Kontradikcija!

Drugo rješenje.

Neka je $a$ duljina osnovice $BC$ zadanog trokuta, $v$ duljina odgovarajuće visine, točka $C_1$ ortogonalna projekcija točke $C$ na pravac $AD$ , a točka $D_1$ ortogonalna projekcija točke $D$ na pravac $BC$ .

S obzirom da je trokut $ABC$ jednakokračan, tangenta $AD$ njegove opisane kružnice je paralelna osnovici $BC$ te je četverokut $CD_1DC_1$ pravokutnik.

Drugi službeni geometrijski dijagram

Kako je $\angle DBD_1=30^\circ$ , pravokutni trokut $DBD_1$ je polovica jednakostraničnog trokuta i vrijedi

|BD|=2|DD_1|=2v,\qquad |BD_1|=v\sqrt3.

Također je

|C_1D|=|CD_1|=|BD_1|-|BC|=v\sqrt3-a.

Točka $D$ je sjecište dviju tangenti opisane kružnice trokuta $ABC$ pa je

|CD|=|AD|=|AC_1|+|C_1D|=\frac a2+(v\sqrt3-a)=v\sqrt3-\frac a2.

Sada se primjenom Pitagorina poučka u pravokutnom trokutu $DCD_1$ dobije:

|CD_1|^2+|DD_1|^2=|CD|^2,

(v\sqrt3-a)^2+v^2=\left(v\sqrt3-\frac a2\right)^2,

odnosno nakon sređivanja

(a\sqrt3-2v)^2=0.

Odatle je

v=\frac{a\sqrt3}{2}

i konačno:

|AB|^2=|AC|^2=v^2+\left(\frac a2\right)^2=a^2 \quad\Longrightarrow\quad |AB|=|BC|=|CA|=a.