2. Zadatak

Prvo rješenje.

Primijetimo da je

$$\begin{aligned} \sin^4x+\cos^2x &=\sin^2x\cdot(1-\cos^2x)+\cos^2x\\ &=\sin^2x+\cos^2x\cdot(1-\sin^2x)\\ &=\sin^2x+\cos^4x. \end{aligned}$$

Dakle, trebamo odrediti najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\begin{aligned} \frac{2}{\sin^4x+\cos^2x} &=\frac{2}{\sin^2x\cdot(1-\cos^2x)+\cos^2x}\\ &=\frac{2}{1-\frac14\sin^2(2x)} =\frac{8}{4-\sin^2(2x)}. \end{aligned}$$

Za svaki realni broj $t$ vrijedi $-1\leq\sin t\leq1$, odnosno $0\leq\sin^2t\leq1$.

To znači da je $3\leq4-\sin^2(2x)\leq4$ za svaki realni broj $x$.

Zaključujemo da je najmanja vrijednost danog izraza jednaka $2$ i ona se postiže ako i samo ako je $x$ realan broj takav da je $\sin^2(2x)=0$, tj. ako i samo ako je $x=k\cdot\frac\pi2$, za neki cijeli broj $k$.

Slično, najveća vrijednost danog izraza jednaka je $\frac83$ i ona se postiže ako i samo ako je $x$ realan broj takav da je $\sin^2(2x)=1$, tj. ako i samo ako je $x=\frac\pi4+k\cdot\frac\pi2$, za neki cijeli broj $k$.

Drugo rješenje.

Isto kao i u prvom rješenju zaključimo da zapravo tražimo najmanju i najveću vrijednost izraza

$$\frac{2}{\sin^4x+\cos^2x}.$$

Primijetimo da je taj izraz jednak

$$\frac{2}{1-\sin^2x+\sin^4x}.$$

Neka je $t=\sin^2x\in[0,1]$ i promotrimo kvadratnu funkciju $1-t+t^2$.

Primijetimo da je

$$1-t+t^2=t^2-t+\frac14+\frac34=\left(t-\frac12\right)^2+\frac34.$$

Najmanja vrijednost ovog izraza je $\frac34$ i postiže se za $t=\frac12$.

Najveća vrijednost ovog izraza je $1$ i postiže se za $t=0$ i $t=1$.

Konačno, zaključujemo da je najveća vrijednost danog izraza jednaka $\frac83$ i ona se postiže ako i samo ako je $x=\frac\pi4+k\cdot\frac\pi2$, za neki cijeli broj $k$.

Najmanja vrijednost danog izraza je $2$ i ona se postiže ako i samo ako je $x=k\cdot\frac\pi2$, za neki cijeli broj $k$.