4. Zadatak

Kako je $(a+b^2)(a^2+b)$ potencija broja $2$, zaključujemo da su oba broja $a+b^2$ i $a^2+b$ potencije broja $2$. Primijetimo da su oba ta broja jednaka barem $2$, pa postoje prirodni brojevi $m$ i $n$ takvi da je $a+b^2=2^m$ i $a^2+b=2^n$.

Kako je broj $a+b^2$ paran, zaključujemo da su brojevi $a$ i $b$ iste parnosti.

Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a\leq b$, što znači da je $n\leq m$.

Računamo

$$2^n(2^{m-n}-1)=2^m-2^n=b^2-a^2-(b-a)=(b-a)(b+a-1).$$

Budući da su $a$ i $b$ iste parnosti, zaključujemo da je broj $b+a-1$ neparan.

To znači da $2^n$ dijeli $b-a$, a kako je $2^n=a^2+b$, zaključujemo da je broj $a^2+b$ djelitelj broja $b-a$.

Ako je $b-a>0$, onda je $a^2+b\leq b-a$, što je kontradikcija.

Dakle, vrijedi $a=b$, što znači da je $a^2+a=a(a+1)$ potencija broja $2$.

Konačno, oba broja $a$ i $a+1$ su potencije broja $2$, što je moguće jedino ako je $a=1$. Stoga je jedino rješenje $(a,b)=(1,1)$.