5. Zadatak

Baza piramide je pravilni $n$ -terokut. Svaka stranica baze obojena je crnom bojom, dok su svaka dijagonala baze i svaki pobočni brid piramide obojeni ili crvenom ili plavom bojom. Odredi najmanji prirodni broj $n\geq4$ za koji nužno postoji trokut čiji vrhovi su vrhovi piramide i kojemu su sve tri stranice jednake boje.

Odgovor je $n=9$ .

Označimo vrh piramide $V$ . Ako je $n=9$ , onda po Dirichletovom principu zaključujemo da je barem pet pobočnih bridova obojeno istom bojom. Bez smanjenja općenitosti neka je ta boja crvena i neka su to bridovi $\overline{VA}$ , $\overline{VB}$ , $\overline{VC}$ , $\overline{VD}$ i $\overline{VE}$ .

Ako su $X$ i $Y$ različite točke iz skupa $\{A,B,C,D,E\}$ takve da je dužina $\overline{XY}$ crvena, onda stranice trokuta $XYV$ imaju istu boju.

U suprotnom su sve dužine određene točkama $A,B,C,D,E$ plave ili crne. Među tih pet točaka moraju postojati dvije koje nisu susjedni vrhovi deveterokuta, a između kojih se ne pojavljuje nijedna od tih točaka. Pretpostavimo da su to $A$ i $E$ , te da su točke $A,B,C,D,E$ poredane tim redom u smjeru kazaljke na satu.

Dužine $\overline{AC}$ , $\overline{CE}$ i $\overline{EA}$ su dijagonale deveterokuta u bazi piramide pa su sve plave boje. Dakle, trokut $ACE$ je jednobojan.

Pokažimo sada da za $n=8$ postoji bojenje dijagonala baze piramide i pobočnih bridova za koje ne postoji jednobojan trokut. Uočimo da od tog primjera uklanjanjem vrhova u bazi dobivamo primjer piramide s istim svojstvom za $n<8$ .

Neka su vrhovi pravilnog osmerokuta koji čini bazu piramide redom (npr. u smjeru kazaljke na satu) $A_1,A_2,A_3,A_4,B_1,B_2,B_3,B_4$ . Neka su pobočni bridovi $\overline{VA_i}$ plavi, a $\overline{VB_i}$ crveni, za $i=1,2,3,4$ . Sve dijagonale osmerokuta u bazi kojima su krajnje točke u skupu $\{A_1,A_2,A_3,A_4\}$ neka su crvene, a sve one dijagonale kojima su krajnje točke u skupu $\{B_1,B_2,B_3,B_4\}$ neka su plave. Primijetimo da smo na taj način osigurali da niti jedan trokut čiji je neki vrh jednak $V$ nije jednobojan.

Za $i,j\in\{1,2,3,4\}$ za koje je $\overline{A_iB_j}$ dijagonala neka je njezina boja plava ako se $i$ i $j$ istovremeno nalaze u skupu $\{1,2\}$ ili u skupu $\{3,4\}$ . U suprotnom, neka je boja dijagonale $\overline{A_iB_j}$ crvena.

Bojenje dijagonala osmerokuta

Pokažimo da niti jedan trokut čiji se vrhovi nalaze u vrhovima baze nije jednobojan. Promotrimo npr. trokut $A_iB_jA_k$ (analogno je za trokut $B_iA_jB_k$ ). Ako je $|i-k|=1$ , onda je dužina $\overline{A_iA_k}$ crna pa trokut sigurno nije jednobojan. Ako je $|i-k|>1$ , onda su dužine $\overline{A_iB_j}$ i $\overline{A_kB_j}$ različitih boja pa trokut opet nije jednobojan.