1. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo duljine stranica trokuta s $a$, $b$ i $c$, te bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a\leq b\leq c$.

To znači da postoji nenegativan realni broj $x$ takav da je

$$a=b-x\qquad\text{i}\qquad c=b+x.$$

Neka je $\beta$ mjera kuta nasuprot stranice duljine $b$. Moramo dokazati da je $\beta\leq60^\circ$.

Koristeći poučak o kosinusu računamo

$$\begin{aligned} \cos\beta &=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} =\frac{b^2+2x^2}{2b^2-2x^2}\\ &=\frac12\cdot\frac{b^2+2x^2}{b^2-x^2}\geq\frac12. \end{aligned}$$

Zadnja nejednakost vrijedi zato što je $b^2+2x^2\geq b^2\geq b^2-x^2>0$.

Dakle, uistinu je $\beta\leq60^\circ$.

Drugo rješenje.

Označimo duljine stranica trokuta s $a$, $b$ i $c$, te bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $a\leq b\leq c$. To znači da je

$$b=\frac{a+c}{2}.$$

Neka je $\beta$ mjera kuta nasuprot stranice duljine $b$. Moramo dokazati da je $\beta\leq60^\circ$.

Koristeći poučak o kosinusu računamo

$$\begin{aligned} \cos\beta &=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} =\frac{a^2+c^2-\frac14(a^2+2ac+c^2)}{2ac}\\ &=\frac14\cdot\frac{3a^2+3c^2-2ac}{2ac} =\frac38\left(\frac ac+\frac ca\right)-\frac14. \end{aligned}$$

Budući da prema nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine vrijedi

$$\frac ac+\frac ca\geq2,$$

slijedi

$$\cos\beta\geq\frac38\cdot2-\frac14=\frac12,$$

odakle je $\beta\leq60^\circ$.

Napomena: Svođenjem na oblik

$$\cos\beta=\frac{3a^2+3c^2-2ac}{8ac}$$

dovoljno je pokazati

$$\frac{3a^2+3c^2-2ac}{8ac}\geq\frac12.$$

Budući da su $a$ i $c$ pozitivni brojevi, ovaj uvjet je ekvivalentan nejednakosti

$$3a^2+3c^2-2ac\geq4ac,$$

odnosno $a^2-2ac+c^2\geq0$. Budući da je $a^2-2ac+c^2=(a-c)^2$, zaključujemo da posljednja nejednakost vrijedi, pa vrijedi i nejednakost koju je trebalo pokazati.