7. Zadatak

Neka su $O_1$ i $O_2$ središte kružnica $k_1$ i $k_2$ redom. Neka je $M$ diralište kružnice $k_1$ sa stranicom $\overline{AB}$, $N$ diralište kružnice $k_2$ sa stranicom $\overline{CD}$, te $T$ diralište tih dviju kružnica. Neka je $r$ radijus tih kružnica.

Primijetimo da je $T$ polovište dužine $\overline{O_1O_2}$.

Kako su dužine $\overline{O_1M}$ i $\overline{O_2N}$ okomite na međusobno paralelne pravce $AB$ i $CD$ (jer kružnice diraju te pravce u točkama $M$ i $N$), zaključujemo da su dužine $\overline{O_1M}$ i $\overline{O_2N}$ paralelne. Odavde je $\angle MO_1T=\angle TO_2N$.

Budući da $k_1$ dira stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$, središte kružnice $O_1$ leži na simetrali kuta iz vrha $A$. Analogno i točka $O_2$ leži na simetrali kuta iz vrha $C$, pa vrijedi jednakost kutova $\angle O_1AM=\angle O_2CN=30^\circ$.

Kako je dodatno $|O_1M|=|O_2N|=r$, zaključujemo da su $AMO_1$ i $CNO_2$ međusobno sukladni pravokutni trokuti. Posebno, vrijedi $|AO_1|=|CO_2|$ i $\angle AO_1M=\angle CO_2N$.

Promotrimo trokute $AO_1T$ i $CO_2T$. Znamo da vrijedi $|AO_1|=|CO_2|$, dok su dužine $\overline{O_1T}$ i $\overline{O_2T}$ radijusi kružnica $k_1$ i $k_2$, pa su jednakih duljina. Konačno, vrijedi

$$\angle AO_1T=\angle AO_1M+\angle MO_1T=\angle CO_2N+\angle NO_2T=\angle CO_2T,$$

pa su ti trokuti sukladni po S–K–S poučku o sukladnosti.

Posebno, vrijedi $|AT|=|TC|$ i $\angle ATO_1=\angle CTO_2$. Kako su točke $O_1$, $T$ i $O_2$ kolinearne, iz jednakosti kutova zaključujemo da su i točke $A$, $T$ i $C$ kolinearne. Dakle, $T$ je polovište dijagonale $\overline{AC}$ paralelograma $ABCD$, odakle zaključujemo da je $T$ sjecište dijagonala paralelograma.

Kako je $T$ polovište dijagonale $\overline{BD}$ i dužine $\overline{O_1O_2}$, zaključujemo da je četverokut $O_1BO_2D$ paralelogram. U njemu vrijedi jednakost paralelograma:

$$|O_1O_2|^2+|BD|^2=2\left(|O_1B|^2+|O_1D|^2\right).$$

Duljinu dužine $\overline{BD}$ možemo odrediti kosinusovim poučkom u trokutu $ABD$:

$$|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2-2\cdot|AB|\cdot|AD|\cos\angle BAD=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cdot\frac12=13.$$

Duljinu dužine $\overline{O_1B}$ određujemo Pitagorinim poučkom iz trokuta $O_1BM$. Kako je

$$|MB|=|AB|-|AM|=|AB|-|O_1M|\operatorname{tg}\angle O_1AM=4-r\sqrt3,$$

slijedi

$$|O_1B|^2=|O_1M|^2+|MB|^2=r^2+(4-r\sqrt3)^2.$$

Analogno zaključujemo $|O_1D|^2=r^2+(3-r\sqrt3)^2$. Uvrštavanjem dobivenog u jednakost paralelograma dobivamo jednadžbu za $r$:

$$\begin{aligned} 13+4r^2&=2\left(r^2+(4-r\sqrt3)^2+r^2+(3-r\sqrt3)^2\right)\\ 13+4r^2&=4r^2+50-28\sqrt3r+12r^2\\ 0&=12r^2-28\sqrt3r+37. \end{aligned}$$

Rješenja dobivene kvadratne jednadžbe su

$$r_{1,2}=\frac{28\sqrt3\pm24}{24}=\frac{7\sqrt3}{6}\pm1.$$

Rješenje $\frac{7\sqrt3}{6}+1$ odbacujemo budući da bi u tom slučaju radijus kružnice bio veći od 2, odnosno promjer kružnice bio bi veći duljina obiju stranica paralelograma, pa u tom slučaju $k_1$ i $k_2$ ne mogu biti unutar paralelograma.

Zato konačno zaključujemo da je traženi radijus

$$r=\frac{7\sqrt3}{6}-1.$$