4. Zadatak

Da bi jednakost bila dobro definirana, nužno je

$$\begin{aligned} 2023-2(a+b)&\in(0,1)\cup(1,+\infty),\\ b&\in(0,1)\cup(1,+\infty),\\ \log_b a&\ne0. \end{aligned}$$

Kako su $a$ i $b$ prirodni, prva dva uvjeta postaju $2023-2(a+b)\ge2$ i $b\ge2$. Zadnji uvjet je ekvivalentan s $a\ge2$.

Početnu jednadžbu možemo srediti na sljedeći način:

$$\begin{aligned} \frac1{\log_b(2023-2(a+b))}&=\frac1{\log_b a^3}\\ \log_b(2023-2(a+b))&=\log_b a^3\\ 2023-2(a+b)&=a^3\\ a^3+2(a+b)&=2023\\ a^3+2a+2b&=2023. \end{aligned}$$

Primijetimo da je uvjet $a^3=2023-2(a+b)\ge2$ automatski zadovoljen čim je $a\ge2$. Dakle, tražimo broj prirodnih rješenja $(a,b)$ dobivene jednadžbe koja zadovoljavaju $a,b\ge2$.

Broj rješenja te jednadžbe jednak je broju neparnih prirodnih brojeva $a$ za koje je

$$a^3+2a\le2019.$$

Naime, da bi lijeva i desna strana jednakosti bile iste parnosti, nužno je $a^3$ neparan, odnosno, $a$ je neparan. S druge strane, za proizvoljan neparan $a$ koji zadovoljava gornju nejednakost, broj

$$b=\frac{2023-a^3-2a}{2}$$

je jedinstveni prirodan broj koji zadovoljava traženu jednadžbu.

Za $a\le11$ vrijedi $a^3+2a\le11^3+2\cdot11=1353<2019$, dok za $a\ge13$ vrijedi $a^3+2a\ge13^3+2\cdot13=2223$. Kako postoji 5 neparnih prirodnih brojeva manjih ili jednakih 11, a većih od 2, zaključujemo da postoji 5 uređenih parova koji su rješenje jednadžbe iz zadatka.