5. Zadatak

Prvo rješenje.

Bez smanjenja općenitosti dokažimo samo jednakost $|BH|^2+|CA|^2=|CH|^2+|AB|^2$, budući da preostala slijedi analogno.

Tvrdnju možemo zapisati na ekvivalentan način:

$$|BH|^2-|CH|^2=|AB|^2-|CA|^2.$$

Označimo s $D$ nožište visine iz vrha $A$. Primjenom Pitagorinog poučka na pravokutne trokute $ADB$ i $ADC$ dobivamo

$$|AB|^2-|CA|^2=(|AD|^2+|BD|^2)-(|CD|^2+|DA|^2)=|BD|^2-|CD|^2.$$

S druge strane, primjenom Pitagorinog poučka na pravokutne trokute $HDB$ i $HDC$ dobivamo

$$|BH|^2-|CH|^2=(|BD|^2+|DH|^2)-(|CD|^2+|DH|^2)=|BD|^2-|CD|^2.$$

Iz prethodne dvije jednakosti slijedi

$$|BH|^2-|CH|^2=|AB|^2-|CA|^2,$$

što smo i htjeli dokazati.

Drugo rješenje.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ redom, te neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutova trokuta pri vrhovima $A$, $B$ i $C$ redom.

Neka je kao u prošlom rješenju $D$ nožište visine iz vrha $A$, te neka je $F$ nožište visine iz vrha $C$.

U pravokutnom trokutu $CFB$ zaključujemo $\angle FCB=90^\circ-\angle FBC=90^\circ-\beta$.

U pravokutnom trokutu $ADC$ vrijedi

$$|CD|=|AC|\cos\angle DCA=b\cos\gamma.$$

U pravokutnom trokutu $CDH$ vrijedi

$$|CH|=\frac{|CD|}{\cos\angle DCH}=\frac{|CD|}{\sin\beta},$$

što uz izračun za duljinu dužine $\overline{CD}$ daje

$$|CH|=\frac{b\cos\gamma}{\sin\beta}.$$

Korištenjem sinusovog poučka, gornji izraz možemo pisati i kao

$$|CH|=\frac{b}{\sin\beta}\cos\gamma=\frac{c}{\sin\gamma}\cos\gamma.$$

Zato je

$$|AB|^2+|CH|^2=c^2+\frac{c^2}{\sin^2\gamma}\cos^2\gamma=c^2\left(1+\frac{\cos^2\gamma}{\sin^2\gamma}\right)=\frac{c^2}{\sin^2\gamma}.$$

Ponovna primjena sinusovog poučka daje

$$|AB|^2+|CH|^2=4R^2.$$

Analogno, zaključujemo i za preostala dva izraza

$$|BC|^2+|AH|^2=4R^2 \quad \text{i} \quad |CA|^2+|BH|^2=4R^2,$$

čime smo dokazali da su zaista sva tri tražena izraza međusobno jednaka.