1. Zadatak

Prvo rješenje.

Riješimo jednadžbu u ovisnosti u parametru $a$. Primijetimo prvo da za $a<0$ jednadžba nema rješenja, dakle, nužno je $a\ge0$.

Prvo tražimo rješenja za koja je $2^x-1\ge0$, odnosno $x\ge0$. Tada jednadžba postaje $|2^x-3|=a$, što vodi na dva slučaja, ovisno o predznaku izraza $2^x-3$ (odnosno je li $x\ge\log_2 3$ ili je $x<\log_2 3$). U prvom slučaju imamo

$$\begin{aligned} 2^x-3&=a\\ 2^x&=3+a\\ x&=\log_2(3+a). \end{aligned}$$

U ovom slučaju $x=\log_2(3+a)$ je rješenje ako i samo ako je $a\ge-2$ (jer $x$ mora biti nenegativan, te logaritam dobro definiran), a to sigurno vrijedi jer je $a\ge0$.

U drugom slučaju imamo $2^x-3=-a$, odakle dobivamo rješenje $x=\log_2(3-a)$ ako i samo ako je $a\le2$.

Sada tražimo rješenja za koja je $2^x-1<0$, odnosno $x<0$. Tada jednadžba postaje

$$\begin{aligned} |1-2^x-2|&=a\\ |2^x+1|&=a\\ 2^x+1&=a\\ x&=\log_2(a-1) \end{aligned}$$

(treća jednadžba slijedi jer je izraz $2^x+1$ pozitivan za sve $x$). U ovom slučaju dobivamo rješenje $x=\log_2(a-1)$ ako i samo ako je $1<a<2$ (jer $x$ mora biti negativan, te logaritam dobro definiran).

Konačno:

• kada je $a<0$, jednadžba nema nijedno rješenje;
• kada je $a=0$ jednadžba ima jedno rješenje: $x=\log_2 3$;
• kada je $a\in(0,1]$ jednadžba ima dva rješenja: $x=\log_2(3+a)$ i $x=\log_2(3-a)$;
• kada je $a\in(1,2)$ jednadžba ima tri rješenja: $x=\log_2(3+a)$, $x=\log_2(a-1)$ i $x=\log_2(3-a)$;
• kada je $a=2$ jednadžba ima dva rješenja: $x=\log_2 5$ i $x=0$;
• kada je $a>2$ jednadžba ima jedno rješenje: $x=\log_2(3+a)$.

Zaključujemo jednadžba ima točno 2 rješenja kada je $a\in(0,1]$ i $a=2$.

Drugo rješenje.

Skicirajmo graf funkcije $f(x)=||2^x-1|-2|$. Kao prvo, graf funkcije $2^x-1$ dobiven je pomicanjem grafa funkcije $2^x$ za jedan prema dolje.

Graf funkcije $|2^x-1|$ dobijemo tako da dio grafa funkcije $2^x-1$ koji se nalazi ispod osi $x$ osnosimetrično preslikamo preko osi $x$.

Točka grafa funkcije $2^x-1$ koja se nalazi na osi $x$ je njezina nultočka. Rješenje jednadžbe $2^x-1=0$ je $x=0$.

Graf funkcije $|2^x-1|-2$ dobivamo pomicanjem prethodnog grafa funkcije za 2 dolje, dok graf funkcije $f(x)=||2^x-1|-2|$ dobivamo ponovnim preslikavanjem negativnog dijela prethodnog grafa preko osi $x$.

Iz svega navedenog, graf funkcije $f(x)$ izgleda kao na slici.

Broj rješenja jednadžbe $f(x)=a$ jednak je broju presjeka pravca $y=a$ i grafa funkcije $f(x)$. Kao na kraju prošlog rješenja, odredimo broj rješenja u ovisnosti o parametru $a\in\mathbb{R}$ (po slučajevima $a<0$, $a=0$, $a\in(0,1]$, $a\in(1,2)$, $a=2$, $a>2$), te zaključujemo da jednadžba ima točno 2 rješenja kada je $a\in(0,1]$ i $a=2$.