2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $m$ najmanji prirodni broj za koji postoje $a,b\in\mathbb{N}$ takvi da je $m$ jednak

$$50a^4=3b^3.$$

U gornjoj jednadžbi vidimo da lijeva strana jednakosti mora biti djeljiva s 3 jer je i desna, što je jedino moguće ako je broj $a^4$ djeljiv s 3. Kako je 3 prost broj, to je moguće tek ako je $a$ djeljiv s 3.

Desna strana jednakosti mora biti djeljiva s 2 i 5, što je po sličnom načinu zaključivanja moguće tek ako je $b$ djeljiv s 2 i 5.

Zato postoje prirodni brojevi $a_1$ i $b_1$ takvi da je $a=3a_1$ i $b=10b_1$.

Primijetimo da su $a$ i $b$ najmanji mogući kada su $a_1$ i $b_1$ najmanji mogući. Uvrštavanjem u početnu jednakost dobivamo

$$3^3a_1^4=2^2\cdot5b_1^3.$$

Analogno zaključujemo da $a_1$ mora biti djeljiv s 2 i 5, a $b_1$ s 3. Zato je $a_1=10a_2$ i $b_1=3b_2$, za neke $a_2,b_2\in\mathbb{N}$.

Ponovno, tražimo najmanje moguće $a_2$ i $b_2$. Jednadžba sada postaje

$$2^2\cdot5^3a_2^4=b_2^3.$$

Sada zaključujemo da je $b_2=10\cdot b_3$, za neki $b_3\in\mathbb{N}$.

Iz sljedeće jednadžbe $a_2^4=2b_3^3$ zaključujemo da je $a_2$ oblika $2a_3$ ($a_3\in\mathbb{N}$), a iz nove jednadžbe $2^3a_3^4=b_3^3$ zaključujemo da je $b_3$ oblika $2b_4$ ($b_4\in\mathbb{N}$). Konačno, dobivamo jednadžbu $a_3^4=b_4^3$ kojoj je najmanje rješenje u prirodnim brojevima $a_3=b_4=1$.

Zato je najmanji traženi prirodni broj $m$ jednak

$$m=50a^4=50\cdot(2^2\cdot3\cdot5)^4=2^9\cdot3^4\cdot5^6=648\ 000\ 000.$$

Drugo rješenje.

Koristeći rastav na proste faktore, zapišimo brojeve $a$ i $b$ u obliku

$$a=2^{k_1}\cdot3^{k_2}\cdot5^{k_3}\cdot x \quad \text{i} \quad b=2^{l_1}\cdot3^{l_2}\cdot5^{l_3}\cdot y,$$

gdje su $k_1,k_2,k_3,l_1,l_2,l_3\in\mathbb{N}_0$, a brojevi $x$ i $y$ su prirodni brojevi relativno prosti s 2, 3 i 5.

Jednadžba $50a^4=3b^3$ sada postaje

$$2^{1+4k_1}\cdot3^{4k_2}\cdot5^{2+4k_3}\cdot x^4=2^{3l_1}\cdot3^{1+3l_2}\cdot5^{3l_3}\cdot y^3.$$

Kako bi jednakost bila zadovoljena, eksponenti u potencijama prostih brojeva 2, 3 i 5 se moraju poklapati, a brojevi koji su relativno prosti s tim brojevima moraju biti jednaki. Zato imamo

$$\begin{aligned} 1+4k_1&=3l_1,\\ 4k_2&=1+3l_2,\\ 2+4k_3&=3l_3,\\ x^4&=y^3. \end{aligned}$$

Najmanje rješenje zadnje jednadžbe je $x=y=1$.

U prvoj jednadžbi lijeva strana jednakosti mora biti djeljiva s 3, a najmanji takav $k_1$ da se to postigne je jednak 2. Zato je i najmanji takav $l_1=3$.

U drugoj jednadžbi je slično najmanje rješenje $k_2=l_2=1$, dok je u trećoj jednadžbi najmanje rješenje $k_3=1$, $l_3=2$.

Zato je traženo rješenje

$$50a^4=50\cdot(2^2\cdot3\cdot5)^4=2^9\cdot3^4\cdot5^6=648\ 000\ 000.$$