6. Zadatak

Prvo rješenje.

Prelaskom na trigonometrijski oblik $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ dobivamo $$\begin{aligned} \left|\frac z{|z|}+\frac{|z|}{4z}\right|&=\left|\cos\varphi+i\sin\varphi+\frac1{4(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\right|\\ &=\left|\cos\varphi+i\sin\varphi+\frac{\cos\varphi-i\sin\varphi}{4}\right|\\ &=\left|\frac54\cos\varphi+\frac34i\sin\varphi\right|\\ &=\sqrt{\frac{25}{16}\cos^2\varphi+\frac9{16}\sin^2\varphi}\\ &=\sqrt{\frac9{16}+\cos^2\varphi}. \end{aligned}$$ Kako je $0\le\cos^2\varphi\le1$ slijedi $$\frac34\le\sqrt{\frac9{16}+\cos^2\varphi}\le\frac54.$$ Dakle, $$\left|\frac z{|z|}+\frac{|z|}{4z}\right|\in\left[\frac34,\frac54\right].$$ Napomena. Nakon što se dobije izraz $\sqrt{\frac{25}{16}\cos^2\varphi+\frac9{16}\sin^2\varphi}$, moguće je dalje sve izraziti preko $\sin\varphi$ umjesto $\cos\varphi$ i dobiti isto rješenje.

Drugo rješenje.

Označimo $|z|=r$. Tada je $$\left|\frac zr+\frac r{4z}\right|=\left|\frac{4z^2+r^2}{4zr}\right|=\frac{|4z^2+r^2|}{4r^2}.$$ Sada prelaskom na algebarski oblik $z=x+yi$ imamo $$|4z^2+r^2|=|4(x+yi)^2+x^2+y^2|=|5x^2-3y^2+8xyi|$$ $$\begin{aligned} |4z^2+r^2|&=\sqrt{(5x^2-3y^2)^2+(8xy)^2}\\ &=\sqrt{25(x^2+y^2)^2-16y^2(x^2+y^2)}\\ &=\sqrt{25r^4-16y^2r^2}\\ &=r\sqrt{25r^2-16y^2}. \end{aligned}$$ Stoga je $$\left|\frac z{|z|}+\frac{|z|}{4z}\right|=\frac{\sqrt{25r^2-16y^2}}{4r}.$$ Konačno kako je $-r\le y\le r$, slijedi $0\le y^2\le r^2$ te je $$3r\le\sqrt{25r^2-16y^2}\le5r.$$ Dijeljenjem sa $4r$ dobivamo da je $$\frac34\le\frac{\sqrt{25r^2-16y^2}}{4r}\le\frac54.$$ Dakle, $$\left|\frac z{|z|}+\frac{|z|}{4z}\right|\in\left[\frac34,\frac54\right].$$