3. Zadatak

Prvo rješenje.

Broj $(\mathrm{ABCDE2010})_{15}$ se može napisati kao $$a=10\cdot15^8+11\cdot15^7+12\cdot15^6+13\cdot15^5+14\cdot15^4+2\cdot15^3+1\cdot15^1.$$ Neka je $b=10+11+12+13+14+2+0+1+0=63$.

Primijetimo da je broj $15^k-1$ djeljiv sa 7 za svaki prirodan broj $k$ jer je $$15^k-1=(15-1)\cdot(15^{k-1}+\cdots+1).$$ Oduzmimo broj $b$ od broja $a$: $$\begin{aligned} a-b&=10\cdot15^8+11\cdot15^7+12\cdot15^6+13\cdot15^5+14\cdot15^4+2\cdot15^3+1\cdot15^1\\ &\quad-10-11-12-13-14-2-1\\ &=10\cdot(15^8-1)+11\cdot(15^7-1)+12\cdot(15^6-1)+13\cdot(15^5-1)\\ &\quad+14\cdot(15^4-1)+2\cdot(15^3-1)+1\cdot(15-1). \end{aligned}$$ Zaključujemo da je ta razlika djeljiva sa 7 jer je djeljiv svaki pribrojnik.

S druge strane, znamo da je broj $b=63$ djeljiv sa 7, pa slijedi da je i broj $a$ djeljiv sa 7.

Dakle, ostatak dijeljenja sa 7 jednak je 0.

Napomena. Činjenica da pri dijeljenju $15^k$ sa 7 dobijemo ostatak 1 (za $k=1,\ldots,8$) možemo dobiti i koristeći binomnu formulu $$15^k=(14+1)^k=\sum_{i=0}^k\binom ki14^i$$ Svi članovi u sumi su djeljivi sa 7 osim prvog $\binom k0\cdot1=1$.

Drugo rješenje.

Vrijedi $15\equiv1\pmod7$, pa stoga i $15^k\equiv1^k\equiv1\pmod7$, za $k=1,\ldots,8$.

Budući da stoga slijedi $15^k\cdot n\equiv n\pmod7$ za $n=1,\ldots,14$, uz prethodne oznake imamo $$a\equiv10+11+12+13+14+2+1\pmod7$$ tj. $$a\equiv0\pmod7.$$ Treće rješenje.

Direktnim dijeljenjem u sustavu s bazom 15 dobijemo: $$\begin{array}{rllllllll} \mathrm{ABCDE2010}_{15}:7=\mathrm{181CA8CD0}_{15}\\ \mathrm{3B}\\ \quad\mathrm{0C}\\ \qquad\mathrm{5D}\\ \qquad\quad\mathrm{4E}\\ \qquad\qquad42\\ \qquad\qquad\quad60\\ \qquad\qquad\qquad61\\ \qquad\qquad\qquad\quad00\\ \qquad\qquad\qquad\qquad0 \end{array}$$ Ostatak dijeljenja sa 7 jednak je 0.

Četvrto rješenje.

Prelaskom u dekadski sustav imamo: $$(\mathrm{ABCDE2010})_{15}=(27\,655\,634\,265)_{10}$$ $$27\,655\,634\,265:7=3\,950\,804\,895,\quad\text{ost }0.$$