1. Zadatak

Prvo rješenje.

Identitet dokazujemo matematičkom indukcijom po $n$.

Baza: za $n=1$ imamo $1\cdot1!=1=(1+1)!-1$.

Pretpostavka: pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$.

Korak: za $n+1$ imamo $$\begin{aligned} \underbrace{1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!}_{\text{prema pp}}+(n+1)(n+1)! &=(n+1)!-1+(n+1)(n+1)!\\ &=(n+2)(n+1)!-1. \end{aligned}$$ Dakle, koristeći pretpostavku da tvrdnja vrijedi za $n$ dokazali smo da tvrdnja vrijedi i za $n+1$ pa stoga i za sve prirodne brojeve.

Drugo rješenje.

Dokaz kombinatornim argumentom. Dvije strane jednakosti prebrojavaju isti skup na različite načine. S desne strane $((n+1)!-1)$ je broj permutacija skupa $\{1,2,\ldots,n+1\}$ pri čemu isključujemo mogućnost da se svaki broj preslikava u samog sebe.

S druge strane prebrojavamo isti skup (permutacije bez identitete) tako da promatramo slučajeve ovisno o najvećem broju koji se ne preslikava u samog sebe. Ako je najveći broj koji se ne preslikava u samog sebe $k+1$, onda između $k$ brojeva manjih od $k+1$ možemo izabrati jedan koji se preslikava u $k+1$, a preostale brojeve manje od $k+1$ zajedno s brojem $k+1$ preslikavamo u $1,2,\ldots,k$. To možemo učiniti na $k\cdot k!$ načina.

Budući da smo isključili mogućnost da se svaki broj preslikava u samog sebe, a s $k+1$ smo označili najveći broj koji se ne preslikava u samog sebe, slijedi da $k$ može biti bilo koji broj između 1 i $n$ pa je zaista rezultat $\sum_{k=1}^n k\cdot k!=1\cdot1!+2\cdot2!+\cdots+n\cdot n!$.