7. Zadatak

U pravokutnom trokutu težišnica i simetrala pravog kuta dijele hipotenuzu na tri dijela čije duljine, u nekom poretku, čine aritmetički niz. Odredi sve moguće omjere duljina kateta tog trokuta.

Tri broja čine aritmetički niz ako je suma najmanjeg i najvećeg jednaka dvostrukom srednjem broju.

Rješenje

Odgovor: Jedine mogućnosti su $a:b=1:5$ (ili $5:1$ ) i $a:b=1:2$ (ili $2:1$ ).

Pravokutni trokut s težišnicom i simetralom pravog kuta

Označimo duljine ta tri dijela redom s $x_1$ , $x_2$ , $x_3$ . Vrijedi $x_1=\frac c2$ i $x_1+x_2+x_3=c$ .

Prvo rješenje.

S $d$ označimo duljinu okomica spuštenih iz sjecišta hipotenuze i simetrale pravog kuta na katete. Te okomice su katete dvaju manjih pravokutnih trokuta koji su slični polaznom trokutu.

Zbog sličnosti i Pitagorinog poučka vrijedi $\frac d{\sqrt{(x_1+x_2)^2-d^2}}=\frac{\sqrt{x_3^2-d^2}}d=\frac ab.$ Zbog jednostavnosti pretpostavimo $c=6$ . Razlikujemo dva slučaja:

1. slučaj: Neka je $x_3<x_2<x_1$ . Tada iz $x_1+x_3=2x_2$ jednostavnim računom dobijemo $x_2=\frac c3=2$ i $x_3=\frac c6=1$ .

Odavde slijedi $\frac d{\sqrt{25-d^2}}=\frac{\sqrt{1-d^2}}d$ te zbog toga $d=\frac5{\sqrt{26}}$ i $a:b=1:5$ .

2. slučaj: Neka je $x_2<x_3<x_1$ . Tada iz $x_1+x_3=2x_2$ jednostavnim računom dobijemo $x_2=\frac c6=1$ i $x_3=\frac c3=2$ .

Odavde slijedi $\frac d{\sqrt{16-d^2}}=\frac{\sqrt{4-d^2}}d$ te zbog toga $d=\frac4{\sqrt5}$ i $a:b=1:2$ .

Drugo rješenje.

U ovom rješenju koristimo poučak o simetrali kuta koji kaže da simetrala kuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru preostalih dviju stranica trokuta. Dakle, $\frac ab=\frac{x_3}{x_1+x_2}.$ Razlikujemo dva slučaja:

1. slučaj: Ako je $x_3<x_2<x_1$ imamo $x_2=\frac c3$ i $x_3=\frac c6$ .

Simetrala kuta dijeli hipotenuzu u omjeru $\frac ab=\frac{x_3}{x_1+x_2}=\frac15$ .

2. slučaj: Neka je $x_2<x_3<x_1$ imamo $x_2=\frac c6$ i $x_3=\frac c3$ .

Simetrala kuta dijeli hipotenuzu u omjeru $\frac ab=\frac{x_3}{x_1+x_2}=\frac12$ .

Prva varijacija drugog rješenja.

Neka je $d$ duljina okomica spuštenih iz sjecišta hipotenuze i simetrale pravog kuta na katete. Tada vrijedi $\sin\alpha=\frac d{x_1+x_2}=\frac{x_3\cos\alpha}{x_1+x_2}.$ $\frac ab=\operatorname{tg}\alpha=\frac{x_3}{x_1+x_2}.$ Druga varijacija drugog rješenja.

Ako sa $s$ označimo duljinu dijela simetrale pravog kuta unutar zadanog trokuta, prema sinusovom poučku imamo $\frac{\sin\alpha}s=\frac{\sin45^\circ}{x_1+x_2}$ $\frac{\sin(90^\circ-\alpha)}s=\frac{\cos\alpha}s=\frac{\sin45^\circ}{x_3}.$ Dijeljenjem prethodne dvije jednakosti dobivamo $\frac ab=\operatorname{tg}\alpha=\frac{x_3}{x_1+x_2}.$