2. Zadatak

Iz jednadžbe je vidljivo da su poluosi elipse $a=6$, $b=3$.

Budući da je točka $(0,3)$ na elipsi, zbroj udaljenosti te točke od žarišta je $2a=12$. Odavde slijedi da je polumjer kružnice $k$ jednak 6.

Jednadžba kružnice $k$ je $x^2+(y-3)^2=36$.

Tražimo rješenja sustava $$x^2+4y^2=36,$$ $$x^2+(y-3)^2=36.$$ Oduzmemo li te dvije jednadžbe dobivamo $4y^2-(y-3)^2=0$.

Odavde dobivamo $4y^2=(y-3)^2$, tj. $2y=\pm(y-3)$.

Imamo dva rješenja $y_1=-3$, $y_2=1$.

Iz jednadžbe elipse dobivamo $x_1=0$ i $x_{2,3}=\pm\sqrt{36-4}=\pm4\sqrt2$.

Tražene točke su $(0,-3)$, $(4\sqrt2,1)$, $(-4\sqrt2,1)$.

Varijacija. (Drugi dokaz da polumjer kružnice iznosi 6.)

Budući da je $\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{27}=3\sqrt3$, zaključujemo da se žarišta elipse nalaze u točkama $(3\sqrt3,0)$ i $(-3\sqrt3,0)$. Odavde slijedi da je polumjer kružnice $k$ jednak $\sqrt{27+9}=6$.