4. Zadatak

Neka je $N$ nožište okomice iz točke $A$ na pravac $BC$. Tada je $|MD|=2|MN|$.

Neka je $E$ točka na pravcu $BC$ takva da je $ACE$ jednakokračan trokut s osnovicom $CE$. Nožište visine tog trokuta iz vrha $A$ je također točka $N$. Zato je $|MN|=|MC|+|CN|=\frac12|BC|+\frac12|CE|=\frac12|BE|$. Označimo $\angle ABC=2\delta$. Tada je redom: $$\begin{aligned} \angle BCA&=90^\circ+\delta\quad\text{(iz uvjeta zadatka)},\\ \angle ECA&=90^\circ-\delta\quad\text{(suplement kuta }\angle BCA\text{)},\\ \angle BEA&=\angle CEA=90^\circ-\delta\quad\text{(jer je }ACE\text{ jednakokračan trokut)}, \end{aligned}$$ pa je $$\angle EAB=180^\circ-\angle ABC-\angle BEA=180^\circ-2\delta-(90^\circ-\delta)=90^\circ-\delta=\angle BEA.$$ Odatle zaključujemo da je trokut $BEA$ jednakokračan i vrijedi $|BE|=|AB|$. Konačno, $|MD|=2|MN|=|BE|=|AB|$.