2. Zadatak

Prvo rješenje.

Koristeći uvjet $a^2+b^2+c^2=\frac12$, dobivamo da je tvrdnja zadatka ekvivalentna tvrdnji $$\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}+\frac{b^2+2c^2+3a^2}{ba+2ca}+\frac{c^2+2a^2+3b^2}{cb+2ab}\ge6.$$ Vrijedi $a^2+2b^2+3c^2=(a^2+c^2)+2(b^2+c^2)\ge2ac+4bc=2(ac+2bc)$, odnosno $$\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}\ge2.$$ Analogno dobijemo $$\frac{b^2+2c^2+3a^2}{ba+2ca}\ge2,\qquad \frac{c^2+2a^2+3b^2}{cb+2ab}\ge2,$$ a zbrajanjem dobivamo $$\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}+\frac{b^2+2c^2+3a^2}{ba+2ca}+\frac{c^2+2a^2+3b^2}{cb+2ab}\ge6.$$

Drugo rješenje.

Korištenjem uvjeta $a^2+b^2+c^2=\frac12$ u brojnicima na lijevoj strani dobijemo: $$L=\frac{a^2+2b^2+3c^2}{c(a+2b)}+\frac{b^2+2c^2+3a^2}{a(b+2c)}+\frac{c^2+2a^2+3b^2}{b(c+2a)}$$ Primjenom A–K nejednakosti i nakon toga A–G nejednakosti imamo $$\begin{aligned} \frac{a^2+2b^2+3c^2}{c(a+2b)}&=\frac{a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+c^2}{c(a+2b)}\ge\frac{(a+2b+3c)^2}{6c(a+2b)}\\ &\ge\frac{\left(2\sqrt{(a+2b)\cdot3c}\right)^2}{6c(a+2b)}=\frac{4\cdot(a+2b)\cdot3c}{6c(a+2b)}=2. \end{aligned}$$ Analogno se pokazuje da su i ostala dva pribrojnika na lijevoj strani veća ili jednaka 2, pa je $L\ge6$.

Treće rješenje.

Zamjenom $1=2a^2+2b^2+2c^2$ u brojnicima na lijevoj strani dobijemo: $$\begin{aligned} L&=\frac{a^2+2b^2+3c^2}{c(a+2b)}+\frac{3a^2+b^2+2c^2}{a(b+2c)}+\frac{2a^2+3b^2+c^2}{b(c+2a)}\\ &=\left(\frac{a^2+2b^2}{c(a+2b)}+\frac{3c}{a+2b}\right)+\left(\frac{b^2+2c^2}{a(b+2c)}+\frac{3a}{b+2c}\right)+\left(\frac{c^2+2a^2}{b(c+2a)}+\frac{3b}{c+2a}\right). \end{aligned}$$ Ocijenimo izraz $\frac{a^2+2b^2}{c(a+2b)}$. Prema A–K nejednakosti imamo: $$\sqrt{\frac{a^2+b^2+b^2}{3}}\ge\frac{a+b+b}{3},$$ $$\frac{a^2+2b^2}{3}\ge\left(\frac{a+2b}{3}\right)^2,\qquad \frac{a^2+2b^2}{a+2b}\ge\frac{a+2b}{3}.$$ Iz toga slijedi $$\frac{a^2+2b^2}{c(a+2b)}\ge\frac{a+2b}{3c}$$ i analogno $$\frac{b^2+2c^2}{a(b+2c)}\ge\frac{b+2c}{3a}\quad\text{i}\quad\frac{c^2+2a^2}{b(c+2a)}\ge\frac{c+2a}{3b}.$$ Sada je $$L\ge\left(\frac{a+2b}{3c}+\frac{3c}{a+2b}\right)+\left(\frac{b+2c}{3a}+\frac{3a}{b+2c}\right)+\left(\frac{c+2a}{3b}+\frac{3b}{c+2a}\right).$$ Svaki od izraza u zagradama je veći ili jednak 2 zbog nejednakosti $x+\frac1x\ge2$ pa je $L\ge6$.