3. Zadatak

Označimo s $v$ duljinu visine trokuta $ABC$ iz vrha $A$, a s $r$ polumjer upisane kružnice. Površinu trokuta $ABC$ tada možemo izraziti na dva načina:

$$r\cdot\frac{|AB|+|BC|+|CA|}{2}=P=\frac{v\cdot|BC|}{2}.$$

Iskoristimo li uvjet $3|BC|=|AB|+|CA|$ iz zadatka u gornjoj jednakosti, dobivamo $4r=v$.

Udaljenost pravaca $KL$ i $BC$ je $2r$, pa zaključujemo da visina iz vrha $A$ u trokutu $AKL$ ima duljinu $v-2r=4r-2r=2r$.

Budući da su pravci $KL$ i $BC$ paralelni, trokuti $AKL$ i $ABC$ imaju iste kutove, pa su slični. Omjer duljina visina iz vrha $A$ u tim trokutima je $4r:2r=2:1$, pa je $|KL|=\frac{1}{2}|BC|$, tj. $KL$ je srednjica trokuta $ABC$. Dakle, $K$ i $L$ su redom polovišta dužina $AB$ i $AC$.

Budući da je $|AT|=\frac{1}{4}|AC|=\frac{1}{2}|AL|$, zaključujemo da je $T$ polovište dužine $AL$. To znači da su $BT$ i $KL$ težišnice trokuta $ABL$, pa dužina $BT$ dijeli dužinu $KL$ u omjeru $1:2$.