4. Zadatak

Prvo rješenje.

Uočimo da vrijedi $n^5+n^4+1=(n^3-n+1)(n^2+n+1)$, stoga imamo

$$m^2=(n^3-n+1)(n^2+n+1).$$

Izračunajmo najveći zajednički djelitelj izraza u zagradama:

$$\begin{aligned} M(n^3-n+1,n^2+n+1) &=M(n^3-n+1-n(n^2+n+1),n^2+n+1)\\ &=M(-n^2-2n+1,n^2+n+1)\\ &=M(-n^2-2n+1+(n^2+n+1),n^2+n+1)\\ &=M(-n+2,n^2+n+1)\\ &=M(-n+2,n^2+n+1+n(-n+2))\\ &=M(-n+2,3n+1)\\ &=M(-n+2,3n+1+3(-n+2))\\ &=M(-n+2,7). \end{aligned}$$

Zaključujemo da je najveći zajednički djelitelj $d$ brojeva $n^3-n+1$ i $n^2+n+1$ jednak 1 ili 7, stoga imamo dva slučaja.

Ako je $d=7$, onda iz jednakosti $m^2=(n^3-n+1)(n^2+n+1)$ slijedi da je i $m$ djeljiv sa 7. Nadalje, iz $d=M(-n+2,7)$, vidimo da je $d=7$ samo ako $n$ daje ostatak 2 pri dijeljenju sa 7. Dakle, $n$ nije djeljiv sa 7. Prema uvjetu zadatka,

$$\frac{m-4n}{m-7n}=1+\frac{3n}{m-7n}$$

mora biti cijeli broj. Zaključujemo da $m-7n$ dijeli $3n$, no to je nemoguće jer je $m-7n$ djeljiv sa 7, a $3n$ nije. Zato u slučaju $d=7$ nema rješenja.

Ako je $d=1$, onda jednakost $m^2=(n^3-n+1)(n^2+n+1)$ daje faktorizaciju potpunog kvadrata $m^2$ na relativno proste faktore $n^3-n+1$ i $n^2+n+1$. Budući da su faktori relativno prosti, svaki od njih mora biti kvadrat cijelog broja.

Posebno, $n^2+n+1$ je kvadrat cijelog broja. Ovo očito vrijedi za $n=-1,0$. Pokažimo da za preostale cijele brojeve $n$ ovo nije istina. Doista, za sve prirodne brojeve $n$ vrijede nejednakosti

$$n^2<n^2+n+1<(n+1)^2.$$

Analogni zaključak dobivamo za $n<-1$ koristeći nejednakosti $(n+1)^2<n^2+n+1<n^2$ koje vrijede za sve cijele brojeve $n<-1$.

Time smo pokazali da su jedine mogućnosti $n=-1$ i $n=0$. Za $n=-1$ iz početnog uvjeta dobivamo $m^2=-1$, pa ovaj slučaj odbacujemo. Za $n=0$ dobivamo $m^2=1$, to jest $m=-1$ ili $m=1$.

Za $n=0$ i $m\ne0$ vidimo da $m-7n$ dijeli $m-4n$, pa su konačna rješenja parovi

$$(m,n)=(-1,0), \qquad \text{i} \qquad (m,n)=(1,0).$$

Drugo rješenje.

Pogledajmo prvo jednadžbu $m^2=n^5+n^4+1$. U slučaju $n\leq-2$ imamo

$$m^2=n^5+n^4+1=n^4(n+1)+1\leq-16+1=-15<0,$$

što nije moguće jer je kvadrat cijelog broja nužno nenegativan broj. Dakle, nužno je $n\geq-1$.

Za $n=-1$, dobivamo da je $m=1$ ili $m=-1$, no tada broj $m-4n$ nije djeljiv s $m-7n$.

Za $n=0$ je također $m=1$ ili $m=-1$, te oba para zadovoljavaju i prvi uvjet u zadatku.

Od sada promatramo slučaj $n\geq1$. Iz drugog uvjeta u zadatku zaključujemo i da je broj

$$\frac{3n}{m-7n}=\frac{m-4n}{m-7n}-1$$

cijeli. Kako brojnik nije jednak nuli, $m-7n$ je djelitelj od broja $3n$. Budući da je $m-7n$ djelitelj broja $3n$ (koji nije 0), mora vrijediti $|m-7n|\leq3n$, iz čega dalje slijedi

$$-3n\leq m-7n\leq3n, \qquad \text{tj.} \qquad 4n\leq m\leq10n.$$

Odavde prvo zaključujemo da je $m\geq0$, a onda da je $(10n)^2\geq m^2$, tj.

$$100n^2\geq m^2=n^5+n^4+1\geq n^5.$$

Iz toga slijedi $n^3\leq100$, tj. $n\leq4$. Direktnim uvrštavanjem vrijednosti $n=1,2,3,4$ u izraz $n^5+n^4+1$ dobivamo vrijednosti $3,49,325,1281$, od kojih je samo 49 potpun kvadrat. U tom slučaju imamo $(m,n)=(7,2)$, no direktnom provjerom vidimo da broj

$$\frac{m-4n}{m-7n}=\frac{1}{7}$$

nije cijeli.

Konačno, jedini takvi parovi brojeva $(m,n)$ su $(-1,0)$ i $(1,0)$.