1. Zadatak

Prvo rješenje.

Svaki realni broj $a$ zadovoljava traženi uvjet, stoga pretpostavimo nadalje da $a$ nije realan broj.

Ako je $z$ nultočka polinoma s realnim koeficijentima, tada je i $\overline{z}$ nultočka tog polinoma. Budući da je polinom $P(x)$ trećeg stupnja, mora imati barem jednu realnu nultočku, pa zato imamo samo dva slučaja: ili je $\overline{a}=a^2$ ili je $\overline{a}=a^3$.

Ako je $\overline{a}=a^2$, onda je $|a|=|a|^2$, pa budući da je $a\ne0$ slijedi $|a|=1$. Nadalje, dobivamo $a^3=a^2\cdot a=\overline{a}\cdot a=|a|^2=1$. Za takve $a$ imamo

$$\overline{a}=a^3\overline{a}=a^2|a|^2=a^2.$$

Dakle, brojevi $a$ i $a^2$ čine konjugirano kompleksni par, a $a^3=1$ je realan broj, pa zaključujemo da polinom $P(x)$ ima realne koeficijente. Iz $a^3=1$ slijedi $(a-1)(a^2+a+1)=0$, a kako $a$ nije realni broj, vrijedi $a^2+a+1=0$. Rješenja te jednadžbe su

$$a=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \qquad \text{i} \qquad a=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.$$

Ako je $\overline{a}=a^3$, na sličan način pokazujemo da vrijedi $a^4=1$. Odavde je $a=\pm i$, budući da realna rješenja ne promatramo. Direktnom provjerom vidimo da obje mogućnosti za $a$ zadovoljavaju uvjete zadatka:

$$P(x)=(x\mp i)(x+1)(x\pm i)=(x^2+1)(x+1)=x^3+x^2+x+1.$$

Dakle, svi kompleksni brojevi koji zadovoljavaju traženi uvjet su svi realni brojevi $a$ te

$$a\in\left\{i,-i,\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right\}.$$

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju, svi realni brojevi su rješenja pa pretpostavimo da $a$ nije realan broj.

Neka je $P(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$, računamo:

$$\begin{aligned} A&=-a-a^2-a^3=-a(1+a+a^2),\\ B&=a^3+a^4+a^5=a^3(1+a+a^2),\\ C&=-a^6. \end{aligned}$$

Ako je $A=0$, onda je $1+a+a^2=0$ jer $a$ nije realni broj. Istom provjerom kao u prvom rješenju, dolazimo do zaključka da su oba kompleksna treća korijena iz jedinice rješenja. Oni iznose

$$\frac{-1+i\sqrt{3}}{2} \qquad \text{i} \qquad \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.$$

Ako $A\ne0$, onda je $a^2=-\frac{B}{A}$ realni broj. Tada iz $A=-a-a^2-a^3$ dobivamo

$$A+a^2=-a\cdot(1+a^2).$$

Ako $a^2\ne-1$, tada iz gornje jednakosti vidimo i da je $a$ realan broj kao omjer dva takva, što je suprotno pretpostavci. Dakle, $a^2=-1$, pa je $a=\pm i$. Direktnom provjerom kao u prvom rješenju vidimo da obje mogućnosti za $a$ zadovoljavaju uvjete zadatka.

Dakle, svi kompleksni brojevi koji zadovoljavaju traženi uvjet su svi realni brojevi $a$ te

$$a\in\left\{i,-i,\frac{-1+i\sqrt{3}}{2},\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right\}.$$