2. Zadatak

Prvo rješenje.

Zadanu jednadžbu možemo zapisati kao $68=4y^4-x^4$, tj.

$$68=(2y^2-x^2)(2y^2+x^2).$$

Budući da je $2y^2+x^2$ nenegativan broj i $2y^2-x^2$ mora biti nenegativan, pa zaključujemo da su $2y^2+x^2$ i $2y^2-x^2$ prirodni djelitelji broja $68=2^2\cdot17$.

Djelitelji broja $68$ su $1$, $2$, $4$, $17$, $34$ i $68$. Budući da je $2y^2-x^2\le 2y^2+x^2$, postoje samo tri mogućnosti.

i) Ako pretpostavimo da je $2y^2-x^2=1$ i $2y^2+x^2=68$, onda bi moralo vrijediti $4y^2=69$, što je nemoguće jer $4$ ne dijeli $69$.

ii) Ako pretpostavimo da je $2y^2-x^2=2$, $2y^2+x^2=34$, onda mora vrijediti $4y^2=36$. Dakle, $y\in\{3,-3\}$, pa vrijedi $x^2=16$, tj. $x\in\{4,-4\}$.

iii) Ako pretpostavimo da je $2y^2-x^2=4$ i $2y^2+x^2=17$, onda bi moralo vrijediti $4y^2=21$, što je nemoguće jer $4$ ne dijeli $21$.

Jedina rješenja su stoga $(4,3)$, $(4,-3)$, $(-4,3)$, $(-4,-3)$.

Drugo rješenje.

Kao u prvom rješenju zaključujemo da je

$$68=(2y^2-x^2)(2y^2+x^2)$$

i da su $2y^2+x^2$ i $2y^2-x^2$ prirodni djelitelji broja $68$. Zbroj brojeva $2y^2-x^2$ i $2y^2+x^2$ je paran broj (jednak je $4y^2$), što znači da su ti brojevi iste parnosti.

Budući da je $2y^2-x^2\le 2y^2+x^2$, jedina mogućnost je

$$2y^2-x^2=2,\qquad 2y^2+x^2=34.$$

Rješavanjem ovog sustava dobivamo $y^2=9$ i $x^2=16$.

Jedina rješenja su $(4,3)$, $(4,-3)$, $(-4,3)$, $(-4,-3)$.