3. Zadatak

Pretpostavimo da takvi realni $x$, $y$, $z$ postoje. Tada je

$$\begin{aligned} \left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)^2 &=\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2} +2\left(\frac{y}{x}\cdot\frac{z}{y}+\frac{z}{y}\cdot\frac{x}{z}+\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\right)\\ &=\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2} +2\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\right)\\ &=8+2\cdot(-5)=-2<0, \end{aligned}$$

što je nemoguće jer su kvadrati realnih brojeva nenegativni. Dakle, ne postoje takvi realni $x$, $y$, $z$.

Napomena. Učenik koji umjesto izraza $\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}$ kvadrira izraz $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$ i ne napravi značajniji pomak u rješavanju zadatka treba dobiti 1 bod.