4. Zadatak

Prvo rješenje.

Primjenom Pitagorinog teorema na trokut $BEC$ dobivamo $|CE|^2=|BC|^2-|BE|^2$, a na trokut $AEC$ dobivamo $|AC|^2=|AE|^2+|CE|^2$.

Zbrajanjem ovih dviju jednakosti dobivamo $|AC|^2=|AE|^2+|BC|^2-|BE|^2$, a primjenom formule za razliku kvadrata slijedi

$$|AC|^2=(|AE|-|BE|)\cdot(|AE|+|BE|)+|BC|^2.$$

Primijetimo da je $|AE|-|BE|=|AB|$ i $|AE|+|BE|=|AB|+2|BE|$. Zato je

$$|AC|^2=|AB|^2+2\cdot|AB|\cdot|BE|+|BC|^2.$$

Analogno dobivamo

$$|AC|^2=|AD|^2+2\cdot|AD|\cdot|DF|+|DC|^2.$$

Zbrajanjem ovih dviju jednakosti dobivamo

$$2|AC|^2=|AB|^2+2\cdot|AB|\cdot|BE|+|AD|^2+2\cdot|AD|\cdot|DF|+|BC|^2+|DC|^2.$$

Budući da je $|BC|=|AD|$ i $|DC|=|AB|$, slijedi

$$2|AC|^2=2|AB|^2+2\cdot|AB|\cdot|BE|+2|AD|^2+2\cdot|AD|\cdot|DF|,$$

pa nakon dijeljenja s $2$ i faktorizacije dobivamo

$$|AC|^2=|AE|\cdot|AB|+|AF|\cdot|AD|.$$

Drugo rješenje.

Označimo $|AB|=a$, $|AD|=b$, $|BE|=x$, $|DF|=y$. Dvostrukom primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$|AC|^2=|AE|^2+|EC|^2=(|AB|+|BE|)^2+(|BC|^2-|BE|^2)=(a+x)^2+(b^2-x^2).$$

Jednakost koju treba dokazati možemo napisati kao

$$a(a+x)+b(b+y)=(a+x)^2+(b^2-x^2),$$

što možemo pojednostaviti na sljedeći način

$$a^2+ax+b^2+by=a^2+2ax+x^2+b^2-x^2,$$

pa je dovoljno pokazati

$$by=ax.$$

Primijetimo da su trokuti $BEC$ i $DFC$ slični. Naime, $\angle CEB=\angle CFD=90^\circ$, a $\angle CDF=\angle EBC$ (kutovi s paralelnim kracima).

Iz te sličnosti slijedi da je

$$\frac{|CB|}{|BE|}=\frac{|CD|}{|DF|}, \qquad\text{tj.}\qquad \frac{b}{x}=\frac{a}{y},$$

pa slijedi tražena jednakost.