4. Zadatak

Neka su $K$, $L$ i $M$ redom nožišta okomica iz točke $T$ na stranice $BC$, $CA$ i $AB$, te neka je $d$ duljina stranice jednakostraničnog trokuta $KLM$. Označimo na uobičajen način s $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ veličine kutova, a s $a$, $b$ i $c$ duljine stranica trokuta $ABC$.

Uočimo da je četverokut $AMTL$ tetivan jer ima dva nasuprotna prava kuta.

Dužina $\overline{AT}$ je promjer opisane kružnice tom četverokutu, pa vrijedi

$$d=|LM|=|AT|\sin\alpha=56\sin\alpha.$$

Analogno pokazujemo $d=40\sin\beta$ i $d=35\sin\gamma$.

Koristeći poučak o sinusima za trokut $ABC$ zaključujemo

$$\frac ab=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{40}{56}=\frac57$$

i analogno

$$\frac cb=\frac{40}{35}=\frac87.$$

Prema poučku o kosinusu imamo $b^2=c^2+a^2-2ca\cos\beta$, pa dijeljenjem s $b^2$ dobivamo

$$1=\left(\frac cb\right)^2+\left(\frac ab\right)^2-2\cdot\frac cb\cdot\frac ab\cdot\cos\beta,$$

iz čega uvrštavanjem dobivenih omjera slijedi

$$1=\frac{64}{49}+\frac{25}{49}-\frac{80}{49}\cos\beta.$$

Sređivanjem dobivamo $\cos\beta=\frac12$, pa je $\beta=60^\circ$.