1. Zadatak

Prvo rješenje.

Primjenom adicijske formule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

$$\cos(2x)+\cos(2y)+2\cos(x-y)=4.$$

Budući da je kosinus najviše $1$, zaključujemo da je $\cos(2x)=\cos(2y)=\cos(x-y)=1$.

Slijedi da je $2x=2n\pi$ za neki cijeli broj $n$ i $2y=2m\pi$ za neki cijeli broj $m$.

Također i $x-y=(n-m)\pi$ mora biti cjelobrojni višekratnik od $2\pi$, pa stoga $n$ i $m$ moraju biti iste parnosti.

Stoga su rješenja $(x,y)=(2k\pi,2l\pi)$ i $(x,y)=((2k+1)\pi,(2l+1)\pi)$ za $k,l\in\mathbb Z$.

Drugo rješenje.

Računamo:

$$\begin{aligned} &\cos(2x)+\cos(2y)+2\sin x\sin y+2\cos x\cos y\\ &=\cos^2x-\sin^2x+\cos^2y-\sin^2y+2\sin x\sin y+2\cos x\cos y\\ &=(\cos x+\cos y)^2-(\sin x-\sin y)^2. \end{aligned}$$

Prema tome, početna jednadžba ekvivalentna je s

$$(\cos x+\cos y)^2=4+(\sin x-\sin y)^2.$$

Izraz na lijevoj strani jednakosti iznosi najviše $4$, a na desnoj najmanje $4$, pa svaka strana jednakosti mora biti jednaka $4$, tj. mora vrijediti

$$|\cos x+\cos y|=2 \qquad\text{i}\qquad \sin x-\sin y=0.$$

Gornji uvjeti ekvivalentni su s

$$\cos x=\cos y=1 \qquad\text{ili}\qquad \cos x=\cos y=-1.$$

Stoga su rješenja $(x,y)=(2k\pi,2l\pi)$ i $(x,y)=((2k+1)\pi,(2l+1)\pi)$ za $k,l\in\mathbb Z$.

Treće rješenje.

Primjenom formula za pretvorbu zbroja kosinusa u produkt i adicijske formule dobivamo ekvivalentnu jednadžbu

$$2\cos(x-y)(\cos(x+y)+1)=4.$$

Budući da je kosinus najviše $1$, zaključujemo da je $\cos(x-y)=1$ i $\cos(x+y)=1$.

Slijedi da je $x-y=2n\pi$ za neki cijeli broj $n$ i $x+y=2m\pi$ za neki cijeli broj $m$.

Zbrajanjem dobivamo da je $x=(n+m)\pi$, što znači da je $x$ cjelobrojni višekratnik broja $\pi$, a zbog prve jednadžbe slijedi da su $x$ i $y$ višekratnici iste parnosti.

Sva rješenja su $(x,y)=(2k\pi,2l\pi)$ i $(x,y)=((2k+1)\pi,(2l+1)\pi)$ za $k,l\in\mathbb Z$.