5. Zadatak

Označimo parove s $\{a_i,b_i\}$ za $i=1,2,\ldots,6$, pri čemu je $a_i$ uvijek veći, a $b_i$ manji broj u paru. Primijetimo da je zbroj svih brojeva

$$a_1+b_1+a_2+b_2+\cdots+a_6+b_6=1+2+\cdots+12=78.$$

S druge strane, zbroj težina je

$$(a_1-b_1)+(a_2-b_2)+\cdots+(a_6-b_6)=30.$$

Zbrajanjem ovih dviju jednakosti dobivamo da je $2(a_1+a_2+\cdots+a_6)=108$, odnosno, zbroj većih brojeva u svim parovima je $54$.

Budući da je $7+8+9+10+11+12=3\cdot19=57$, slijedi da od tog zbroja treba oduzeti $3$ kako bi zbroj bio $54$. To možemo učiniti na tri načina.

i) Skup većih brojeva je $\{4,8,9,10,11,12\}$. To znači da je skup manjih brojeva $\{1,2,3,5,6,7\}$. U paru s brojem $4$ može biti bilo koji od tri manja broja, a za preostale brojeve možemo proizvoljno odabrati manji broj u paru. To nam daje ukupno $3\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=360$ načina.

ii) Skup većih brojeva je $\{5,7,9,10,11,12\}$. To znači da je skup manjih brojeva $\{1,2,3,4,6,8\}$. U paru s brojem $5$ može biti bilo koji od četiri manja broja, a u paru s brojem $7$ bilo koji od šest manjih brojeva osim onih u prvom paru (dakle, također četiri mogućnosti). U ovom slučaju imamo $4\cdot4\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=384$ načina.

iii) Skup većih brojeva je $\{6,7,8,10,11,12\}$. To znači da je skup manjih brojeva $\{1,2,3,4,5,9\}$. Slično kao u prethodnim slučajevima, imamo $5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot2\cdot1=360$ načina.

Postoji ukupno $360+384+360=1104$ načina.