2. Zadatak

Neka su $A$, $B$, $C$ i $D$ središta sfera koje leže na bazi stošca, a $E$ središte pete sfere.

Tada je $ABCDE$ pravilna četverostrana piramida čiji su svi bridovi duljine $2R$. Stoga je $ABCD$ kvadrat i vrijedi $|AC|=2R\sqrt2$.

Budući da je $|AE|=|CE|=2R$ i $|AC|=2R\sqrt2$, slijedi da je $\angle AEC=90^\circ$.

Promotrimo presjek stošca s ravninom koja prolazi točkama $A$, $C$ i $E$.

Označimo vrh stošca s $P$, te neka su $Q$ i $R$ preostala dva vrha tog presjeka.

Budući da sfere sa središtima $A$, $C$ i $E$ diraju plašt stošca, slijedi $AE\parallel QP$ i $CE\parallel RP$, pa je $\angle QPR=90^\circ$.

Dakle, trokut $QPR$ je jednakokračan pravokutan, pa je polumjer baze stošca jednak njegovoj visini.

Neka su $S$ i $T$ redom dirališta pete sfere i izvodnica $QP$ i $RP$. Tada je četverokut $PSET$ kvadrat stranice duljine $R$ i zaključujemo da je $|PE|=R\sqrt2$.

Neka je $O$ središte kvadrata $ABCD$, tj. polovište dužine $AC$. Tada je

$$|OE|=\frac12|AC|=R\sqrt2.$$

Konačno, neka je $N$ nožište visine stošca, tj. polovište dužine $QR$. Tada je $|ON|=R$ i zaključujemo da je visina stošca

$$\begin{aligned} v&=|PN|=|PE|+|EO|+|ON|\\ &=R\sqrt2+R\sqrt2+R\\ &=(1+2\sqrt2)R. \end{aligned}$$

Sada je volumen stošca

$$\begin{aligned} V&=\frac13Bv\\ &=\frac13(1+2\sqrt2)^2R^2\pi\cdot(1+2\sqrt2)R\\ &=\frac{(1+2\sqrt2)^3}{3}\cdot R^3\pi\\ &=\frac{25+22\sqrt2}{3}\cdot R^3\pi. \end{aligned}$$