5. Zadatak

Neka je $n$ “sretan” broj, a $x$ njegova znamenka jedinica.

$1^\circ$ Promatrajmo najprije slučaj $0\le x<3$. Broj $n+7$ razlikuje se od $n$ samo u zadnjoj znamenci, pa je $n+7$ djeljiv sa 7, tj. $n$ nije “supersretan”.

$2^\circ$ Neka je $3<x\le9$. Promatrajmo sedam brojeva:

$$n+(10-x),n+(10-x)+1,\ldots,n+(10-x)+6.$$

Kako je $n=10k+x$, ovi brojevi se razlikuju samo u zadnjoj znamenci koja je u skupu $\{0,1,\ldots,6\}$. Promatramo zbrojeve njihovih znamenaka. Budući da imamo sedam uzastopnih prirodnih brojeva, jedan od njih je djeljiv sa 7, i odgovarajući broj je “sretan”.

Kako je $x>3$, imamo

$$[n+(10-x)+6]-n<13,$$

pa je neki od brojeva $n+1,n+2,\ldots,n+12$ “sretan”, što znači da $n$ nije “supersretan”.

$3^\circ$ Preostaje jedina mogućnost $x=3$.

Kako 3 nije sretan, promatrajmo dvoznamenkasti završetak broja $n$, $\overline{y3}$. Ako je $y<9$, zbroj znamenaka broja $n+9$ je također višekratnik broja 7 (dodavanjem broja 9 broju $n$ smanjuje se znamenka jedinica za 1 i povećava znamenka desetica za 1). Stoga, da bi broj $n$ bio “supersretan”, njegove zadnje dvije znamenke moraju biti 93. Uočimo da broj 93 nije “sretan”.

Promatrajmo sada troznamenkasti završetak broja $n$, $\overline{z93}$. Ako je $z<9$, dodavanjem broja 11 broju $n$ dobiva se također “sretan” broj (znamenka jedinica se poveća za 1, znamenka desetica smanji za 9 i znamenka stotica poveća za 1). Da bi $n$ bio “supersretan” mora biti $z=9$. No lako se provjeri da je 993 sretan broj i da nijedan od brojeva $993+1$, $993+2$, $\ldots$, $993+12$ nije sretan broj, tj. 993 je najmanji “supersretan” broj.