4. Zadatak

Prvo rješenje. Stavimo $4x^{100}=A$, $y^{100}=B$. Tada dobivamo

$$\begin{aligned}(A^2+1)(B^2+1)&=4AB\\\Leftrightarrow\quad A^2B^2+A^2+B^2+1&=4AB\\\Leftrightarrow\quad(A^2B^2-2AB+1)+(A^2-2AB+B^2)&=0\\\Leftrightarrow\quad(AB-1)^2+(A-B)^2&=0.\end{aligned}$$

Ovo je moguće jedino ako je $AB=1$ i $A=B$, odakle slijedi:

$1^\circ$ $A=B=1\quad\Rightarrow\quad x^{100}=\dfrac14$, $x=\pm\dfrac1{\sqrt[50]2}$, $y^{100}=1$, $y=\pm1$.

$2^\circ$ $A=B=-1$. U ovom slučaju nema rješenja.

Dakle, postoje četiri realna rješenja: $\left(\dfrac1{\sqrt[50]2},1\right)$, $\left(\dfrac1{\sqrt[50]2},-1\right)$, $\left(-\dfrac1{\sqrt[50]2},1\right)$, $\left(-\dfrac1{\sqrt[50]2},-1\right)$.

Drugo rješenje.

Za $x=0$ ili $y=0$ jednadžba nije zadovoljena. Dijeljenjem jednadžbe s $4x^{100}y^{100}$ dobivamo

$$\left(4x^{100}+\frac1{4x^{100}}\right)\left(y^{100}+\frac1{y^{100}}\right)=4.$$

Za pozitivan broj $a$ vrijedi nejednakost $a+\dfrac1a\ge2$ jer je $\left(\sqrt a-\dfrac1{\sqrt a}\right)^2\ge0$, pri čemu se jednakost dostiže ako i samo ako je $a=1$.

Lijeva strana jednadžbe je

$$\left(4x^{100}+\frac1{4x^{100}}\right)\left(y^{100}+\frac1{y^{100}}\right)\ge2\cdot2=4,$$

pa je

$$4x^{100}+\frac1{4x^{100}}=2\quad\text{i}\quad y^{100}+\frac1{y^{100}}=2.$$

Odavde slijedi $4x^{100}=1$ i $y^{100}=1$, odnosno $x=\pm\dfrac1{\sqrt[50]2}$ i $y=\pm1$.

Jednadžba ima četiri realna rješenja.