3. Zadatak

Neka je $S$ središte promatrane kružnice, $x$ njezin polumjer, $P$ polovište dužine $\overline{OA}$ i $R$ nožište okomice iz $S$ na dužinu $\overline{OA}$.

Zbog simetrije je $\angle SOR=45^\circ$, pa je $|OR|=|RS|$. Trokut $SOR$ je jednakokračan i pravokutan pa imamo

$$|OR|=|RS|=|OS|\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac{1-x}{\sqrt2}.$$

U trokutu $PRS$ je

$$|PR|=|OR|-|OP|=\frac{1-x}{\sqrt2}-\frac12\quad\text{i}\quad|PS|=\frac12+x,$$

pa je prema Pitagorinu poučku

$$\begin{aligned}|PS|^2&=|PR|^2+|RS|^2\\\left(\frac12+x\right)^2&=\left(\frac{1-x}{\sqrt2}-\frac12\right)^2+\left(\frac{1-x}{\sqrt2}\right)^2.\end{aligned}$$

Odavde dobivamo

$$x=\frac{\sqrt2-1}{3\sqrt2-1}=\frac{5-2\sqrt2}{17}.$$