4. Zadatak

Neka je $O$ sjecište dijagonala četverokuta $ABCD$. Dokažimo ponajprije da je četverokut $ABCD$ paralelogram tj. da točka $O$ raspolavlja obje dijagonale četverokuta.

Pretpostavimo suprotno, tj. da točka $O$ ne raspolavlja barem jednu dijagonalu četverokuta $ABCD$, recimo $\overline{BD}$. Tada bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $|BO|<|OD|$. Također, bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je $|AO|\le|OC|$.

Promotrimo sada trokut $OA_1B_1$ centralnosimetričan trokutu $OAB$ s obzirom na točku $O$. Očito, polumjer kružnice upisane trokutu $OA_1B_1$ je manji od polumjera kružnice upisane trokutu $OCD$. Kako oni po pretpostavci trebaju biti jednaki imamo kontradikciju pa se dijagonale četverokuta $ABCD$ raspolavljaju, tj. on je paralelogram.

Sada, kako je $ABCD$ paralelogram, trokuti $OAB,OBC,OCD$ i $ODA$ imaju jednake površine. Nadalje, zbog formule $P=r\cdot s$ slijedi da oni imaju jednake poluopsege pa prema tome i opsege. Promotrimo trokute $OAB$ i $OBC$. Kako je $\overline{OB}$ zajednička stranica i $|OA|=|OC|$ zaključujemo da je $|AB|=|BC|$. Stoga je $ABCD$ romb.