1. Zadatak

a) Neka je početni član niza $A$, a njegova razlika $d$ ($d\in\mathbb N$). Ako $A\notin\mathbb N$, tvrdnja vrijedi jer niz ne sadrži nijedan prirodni broj.

Neka je $A\in\mathbb N$ te neka je $b^k$ (za neki $b\in\mathbb N$) član tog niza, konkretno $b^k=A+nd$. Tada su svi brojevi oblika $(b+md)^k$, $m\in\mathbb N$, također članovi tog aritmetičkog niza. Naime, vrijedi $$(b+md)^k=b^k+kb^{k-1}md+\binom m2 b^{k-2}m^2d^2+\cdots+m^kd^k,$$ pa je $(b+md)^k=b^k+dX=A+nd+dX=A+d(n+X)$, gdje je $X$ neki prirodan broj. Time je tvrdnja dokazana.

b) Prvi primjer: Među brojevima oblika $4n+3$ nema potpunih kvadrata, pa je dovoljno pokazati da među njima ima beskonačno mnogo potpunih kubova.

Ako broj daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4, onda i njegov kub daje ostatak 3 pri dijeljenju s 4, jer je $3^3=27=6\cdot4+3$.

Dakle, brojevi oblika $(4k+3)^3$, $k\in\mathbb N$ su kubovi prirodnih brojeva i pripadaju nizu $4n+3$, $n\in\mathbb N$.

Drugi primjer: Niz $8,24,40,56,\ldots$ tj. niz $16n-8=2^3(2n-1)$, $n\in\mathbb N$, zadovoljava uvjete zadatka.

Naime, taj niz ne sadrži niti jedan potpun kvadrat, jer se prost faktor 2 u rastavu svakog broja iz niza na proste faktore javlja s potencijom 3.

S druge strane niz sadrži potpune kubove $8\cdot(2n-1)^3=(2\cdot(2n-1))^3$, $n\in\mathbb N$.