3. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako pretpostavimo da je $n$ neparan, onda su i njegovi djelitelji neparni, kao i njihovi kubovi, pa to znači da je $a^3+d^3$ paran broj. S druge strane, zbog $n=a^3+d^3$ vidimo da je to nemoguće. Prema tome, $n$ mora biti paran.

Za parne brojeve, najmanji pozitivni djelitelj veći od $1$ je $2$, tj. $a=2$.

Ako je $d$ djelitelj broja $n$, onda je i djelitelj broja $n-d^3$.

Iz $n-d^3=a^3=8$ slijedi $d\mid8$, pa su jedini mogući kandidati $d=1,2,4,8$.

Za $d=1$ slijedi $n=9$, što nije rješenje jer $n$ mora biti paran broj.

Iz ostalih mogućnosti $d=2,4,8$ redom dobivamo rješenja $n=16$, $n=72$ i $n=520$.

Drugo rješenje.

Uočimo da je $a$ prost broj.

Budući da $a$ dijeli $a^3=n-d^3$ i $n$, mora dijeliti i $d^3$. Kako je ujedno i prost, posebno vrijedi da $a$ dijeli $d$.

S druge strane, $d$ dijeli $d^3=n-a^3$ i $n$, pa mora dijeliti i $a^3$.

Kako je $a$ prost i dijeli $d$, jedine mogućnosti su $d=a$, $d=a^2$ i $d=a^3$.

Ako je $d=a$, onda je $n=2a^3$, pa je $n$ paran i mora vrijediti $a=2$, $n=16$.

Ako je $d=a^2$, onda je $n=a^3+a^6=a^3(1+a^3)$. Budući da su $a^3$ i $1+a^3$ različite parnosti, zaključujemo da je $n$ paran i mora vrijediti $a=2$, $n=72$.

Ako je $d=a^3$, onda je $n=a^3(1+a^6)$, pa slično zaključujemo da je $a=2$, $n=520$.