1. Zadatak

Na stranici $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ nalaze se točke $P_1$ , $P_2$ i $P_3$ tako da vrijedi

|AP_1|=|P_1P_2|=|P_2P_3|=|P_3B|=\frac14|AB|.

Tim točkama povučene su paralele sa stranicom $\overline{BC}$ , koje dijele trokut na četiri dijela. Površina dijela koji se nalazi između paralela kroz $P_2$ i $P_3$ iznosi $5$ .

Kolika je površina trokuta $ABC$ ?

Rješenje

Prvo rješenje.

Označimo s $Q_1$ , $Q_2$ i $Q_3$ redom točke u kojima paralele kroz $P_1$ , $P_2$ i $P_3$ sijeku stranicu $CA$ , kao na slici.

Trokut ABC s paralelama kroz točke P₁, P₂ i P₃

Budući da je $BC\parallel P_iQ_i$ za $i=1,2,3$ , zaključujemo da je

\angle ABC=\angle AP_1Q_1=\angle AP_2Q_2=\angle AP_3Q_3.

Također, trokuti $ABC$ , $AP_1Q_1$ , $AP_2Q_2$ i $AP_3Q_3$ imaju zajednički kut u vrhu $A$ , pa prema K–K poučku o sličnosti zaključujemo da su ti trokuti slični.

Neka su $X$ i $Y$ redom površine trokuta $AP_1Q_1$ i četverokuta $P_1P_2Q_2Q_1$ .

Budući da je $|AB|=4|AP_1|$ , slijedi da je površina trokuta $ABC$ jednaka $16X$ .

Budući da je $|AP_2|=2|AP_1|$ , slijedi $X+Y=4X$ .

Također, budući da je $|AP_3|=3|AP_1|$ , vrijedi $X+Y+5=9X$ .

Iz posljednje dvije jednakosti slijedi $4X+5=9X$ , tj. $X=1$ .

Stoga je površina trokuta $ABC$ jednaka $16$ .

Drugo rješenje.

Označimo s $Q_1$ , $Q_2$ i $Q_3$ redom točke u kojima paralele kroz $P_1$ , $P_2$ i $P_3$ sijeku stranicu $CA$ . Budući da točke $P_1$ , $P_2$ i $P_3$ dijele dužinu $\overline{AB}$ na četiri jednaka dijela, zbog Talesovog teorema o proporcionalnosti i točke $Q_1$ , $Q_2$ i $Q_3$ dijele dužinu $\overline{AC}$ na četiri jednaka dijela. Slično, povucimo kroz $P_1$ , $P_2$ i $P_3$ paralele sa stranicom $CA$ i označimo točke u kojima sijeku stranicu $BC$ redom s $R_1$ , $R_2$ i $R_3$ , kao na slici.

Mreža jednakih trokuta u trokutu ABC

Budući da su pravci $P_1R_1$ , $P_2R_2$ i $P_3R_3$ paralelni s pravcem $AC$ , točke $R_1$ , $R_2$ i $R_3$ dijele dužinu $\overline{CB}$ na četiri jednaka dijela. Sada po obratu Talesovog teorema zaključujemo da su pravci $Q_1R_3$ , $Q_2R_2$ i $Q_3R_1$ paralelni s pravcem $AB$ .

Na taj način smo trokut $ABC$ podijelili na mrežu manjih trokuta čije stranice leže na pravcima paralelnim stranicama trokuta $ABC$ . Budući da svi ti manji trokuti imaju iste kutove kao trokut $ABC$ , oni su slični.

Usto, susjedni trokuti u toj mreži imaju zajedničku stranicu, pa zaključujemo da su svi ti manji trokuti sukladni.

Četverokut $P_2P_3Q_3Q_2$ se sastoji od pet manjih trokuta, pa zaključujemo da svaki manji trokut ima površinu $1$ .

Budući da se trokut $ABC$ sastoji od ukupno $16$ manjih trokuta površine $1$ , površina trokuta $ABC$ je jednaka $16$ .

Napomena: Moguće je i krenuti od točaka $R_1$ , $R_2$ i $R_3$ koje dijele dužinu $\overline{CB}$ na četiri jednaka dijela, pa argumentirati da su pravci $P_1R_1$ , $Q_3R_1$ itd. paralelni s odgovarajućim stranicama.