2. Zadatak

Izraze $x^2+y^2$ i $x^3+y^3$ možemo (koristeći $x+y=1$) zapisati kao

$$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=1-2xy,$$ $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=1\cdot(1-2xy-xy)=1-3xy.$$

Stoga iz

$$(1-3xy)(1-2xy)=(x^3+y^3)(x^2+y^2)=2$$

sređivanjem dobivamo

$$6x^2y^2-5xy-1=0,$$

što rastavljanjem srednjeg člana na $-6xy+xy$ možemo faktorizirati kao

$$(6xy+1)(xy-1)=0.$$

Budući da su $x$ i $y$ pozitivni, očito je $xy>0$, pa je $6xy+1\neq0$.

Zaključujemo da je $xy-1=0$, odnosno $xy=1$. Uvrštavanjem $y=1-x$ dobivamo $x(1-x)=1$, tj. $x^2-x+1=0$. Nadopunjavanjem na potpun kvadrat dobivamo

$$\left(x-\frac12\right)^2+\frac34=0,$$

što nema rješenja u skupu realnih brojeva. Dakle, ne postoje takvi $x$ i $y$.

Napomena: Izraz $x^3+y^3$ se može rastaviti i na sljedeći način:

$$x^3+y^3=(x+y)^3-3x^2y-3xy^2=1-3xy(x+y)=1-3xy.$$

Učenik može obrazložiti da slučaj $xy=1$ nema rješenja na više načina. Primjerice, budući da su $x,y>0$, iz $x+y=1$ zaključujemo da mora biti $x<1$ i $y<1$. Slijedi $xy<1$, čime dolazimo do kontradikcije.