4. Zadatak

Neka je $P$ polovište osnovice $\overline{BC}$.

Budući da je trokut $ABC$ jednakokračan, $AP$ je njegova visina i vrijedi $\angle BPA=90^\circ$.

Usto je

$$P_{ABP}=\frac12P_{ABC}.$$

Trokuti $ABP$ i $MBN$ imaju zajednički kut $\angle ABP=\angle MBN$, oba imaju pravi kut ($\angle BPA=90^\circ=\angle BNM$) i vrijedi $|AB|=|MB|$, pa po K–S–K poučku o sukladnosti zaključujemo da su ti trokuti sukladni.

Budući da sukladni trokuti imaju jednake površine, zaključujemo da je $P_{ABP}=P_{MBN}$, odnosno

$$P_{MBN}=\frac12P_{ABC}.$$

Slijedi

$$P_{ACMN}=P_{ABC}-P_{MBN}=P_{ABC}-\frac12P_{ABC}=\frac12P_{ABC}=P_{MBN}.$$

Nadalje, iz ranije pokazane sukladnosti imamo

$$|NB|+|BM|=|PB|+|BA|=\frac12O_{ABC},$$

pa je i

$$\begin{aligned} O_{ACMN} &=O_{ABC}-|NB|-|BM|+|MN|\\ &=O_{ABC}-\frac12O_{ABC}+|MN|=\frac12O_{ABC}+|MN|\\ &=|NB|+|BM|+|MN|=O_{MBN}. \end{aligned}$$

Napomena: Alternativno, umjesto sukladnosti trokuta $ABP$ i $MBN$ može se dokazati i koristiti sukladnost trokuta $APM$ i $MNA$.