2. Zadatak

Dijagonala $AC$ dijeli četverokut na dva trokuta $ABC$ i $CDA$.

Za površinu trokuta $ABC$ vrijedi

$$P(ABC)=\frac12|AB|\cdot|BC|\cdot\sin\angle ABC\le\frac12ab.$$

Analogno zaključujemo da je $P(CDA)\le\frac12cd$. Budući da je $P(ABCD)=P(ABC)+P(CDA)$, time smo pokazali da površina četverokuta $ABCD$ nije veća od $\frac12(ab+cd)$.

Još trebamo pokazati da postoji četverokut $ABCD$ čija površina je upravo $\frac12(ab+cd)$.

Uočimo četverokut $ABCD$ u kojem je

$$|AC|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{c^2+d^2}.$$

Tada su trokuti $ABC$ i $CDA$ pravokutni i površina četverokuta $ABCD$ iznosi $\frac12(ab+cd)$.