5. Zadatak
Dano je 100 točaka raspoređenih u 10 redaka i 10 stupaca. Svaka točka je crvena ili plava. Točka je u kutu ako je i na kraju stupca i na kraju retka, a na rubu ako se nalazi na kraju stupca ili retka, ali ne oboje. Dvije točke su susjedne ako se nalaze u istom retku ili stupcu, a između njih nema drugih točaka. Svake dvije susjedne točke spojene su dužinom crvene, plave ili zelene boje, tako da svaka crvena dužina spaja dvije crvene točke, svaka plava dužina spaja dvije plave točke, a svaka zelena dužina spaja jednu crvenu i jednu plavu točku. Poznato je da su ukupno 52 točke crvene, od toga ih je 16 na rubu i dvije u kutovima. Također je poznato da ukupno ima 98 zelenih dužina. Odredi ukupni broj plavih dužina.
Rješenje
Označimo s ukupni broj plavih, a s ukupni broj crvenih dužina.
Ukupni broj točaka na rubu je , pa je broj plavih točaka na rubu . Točno dvije plave točke su u kutovima, pa je ukupni broj plavih točaka u unutrašnjosti .
Prebrojimo sve dužine koje izlaze iz plavih točaka na dva načina. Iz točaka u kutovima izlaze po dvije, iz točaka na rubu po tri, a iz točaka u unutrašnjosti po četiri dužine.
Stoga je ukupni broj dužina koje izlaze iz plavih točaka jednak
Iz plave točke mogu izlaziti samo plave i zelene dužine. U ukupnom broju svih dužina koje izlaze iz plavih vrhova zelene dužine smo brojali jednom, a plave dvaput.
Zato je
pa je .
Ukupni broj plavih dužina je .
Napomena. Do rješenja se na sličan način može doći prebrojavanjem svih dužina koje izlaze iz crvenih točaka.
Bodovi koje učenik dobije za ovaj način rješavanja ne mogu se zbrajati s bodovima iz gornjeg rješenja.
Ako učenik pokaže da je ukupni broj dužina , te iz toga zaključi da je treba dobiti 2 boda.
Prebrojavanjem svih dužina koje izlaze iz crvenih točaka dobivamo
tj. . Ukoliko je obrazložen, ovaj zaključak nosi 8 bodova.