1. Zadatak

Prvo rješenje.

Za $n=2$ tvrdnja $a_0-2a_1+a_2=0$ je ekvivalentna s $a_1-a_0=a_2-a_1$ što vrijedi po definiciji aritmetičkog niza.

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki $n\in\mathbb{N}$. Tada vrijedi

$$a_0-\binom n1a_1+\binom n2a_2-\cdots+(-1)^{n-1}\binom n{n-1}a_{n-1}+(-1)^n\binom nn a_n=0.$$

No, i brojevi $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{n+1}$ su uzastopni članovi aritmetičkog niza, pa vrijedi i

$$a_1-\binom n1a_2+\binom n2a_3-\cdots+(-1)^{n-1}\binom n{n-1}a_n+(-1)^n\binom nn a_{n+1}=0.$$

Oduzimanjem dobivamo

$$\begin{aligned} a_0&-\left(\binom n1+1\right)a_1 +\left(\binom n2+\binom n1\right)a_2-\cdots\\ &+(-1)^n\left(\binom nn+\binom n{n-1}\right)a_n +(-1)^{n+1}\binom nn a_{n+1}=0. \end{aligned}$$

a primjenom formula

$$\binom nk+\binom n{k-1}=\binom{n+1}k\quad(k=0,1,\ldots,n) \qquad\text{i}\qquad \binom nn=\binom{n+1}{n+1}$$

slijedi

$$a_0-\binom{n+1}1a_1+\binom{n+1}2a_2-\cdots+(-1)^n\binom{n+1}n a_n+(-1)^{n+1}\binom{n+1}{n+1}a_{n+1}=0.$$

Time smo dokazali da tvrdnja zadatka vrijedi i za bilo kojih $n+2$ uzastopnih članova aritmetičkog niza. Po principu matematičke indukcije, zaključujemo da tvrdnja vrijedi za svaki prirodni broj $n\ge2$.

Drugo rješenje.

Ako je $a=a_0$ i $d$ razlika danog aritmetičkog niza, onda je $a_n=a+nd$ za $n\ge0$. Tada je

$$\begin{aligned} a_0-\binom n1a_1+\cdots+(-1)^n\binom nn a_n &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk(a+kd)\\ &=a\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk +d\sum_{k=0}^n(-1)^k k\binom nk. \end{aligned}$$

Prema binomnom teoremu vrijedi

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=(1-1)^n=0.$$

Za binomne koeficijente vrijedi

$$k\binom nk=n\binom{n-1}{k-1}.$$

Zato je

$$\begin{aligned} \sum_{k=0}^n(-1)^k k\binom nk &=n\sum_{k=1}^n(-1)^k\binom{n-1}{k-1}\\ &=-n\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k\binom{n-1}{k}=-n(1-1)^{n-1}=0. \end{aligned}$$

Time je pokazana tvrdnja zadatka.

Napomena. Formulu

$$\sum_{k=0}^n(-1)^k k\binom nk=0$$

možemo izvesti i tako da deriviramo obje strane jednakosti

$$(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom nkx^k.$$

Zaista, deriviranjem po varijabli $x$ dobivamo

$$n(1+x)^{n-1}=\sum_{k=0}^n\binom nk\cdot kx^{k-1},$$

pa uvrštavanjem vrijednosti $x=-1$ i množenjem sa $-1$ dobivamo traženi identitet.