3. Zadatak

Prvo rješenje.

Označimo s $P$ traženi broj pravokutnika. Ako s $n(XYZW)$ označimo broj pravokutnika u pravokutniku $XYZW$, tada vrijedi

$$P=n(DFCA)+n(GHBA)-n(DEBA).$$

Preostaje nam odrediti broj pravokutnika u nekom pravokutniku $XYZW$ dimenzija $a\times b$. Primijetimo, svaki pravokutnik je određen odabirom pravaca na kojima leže njegove stranice.

Točke $P$ i $Q$ na stranici $XW$ danog pravokutnika možemo odabrati na $\binom{a+1}{2}$ načina, a time jednoznačno odaberemo pravce $p$ i $q$. Na sličan način, točke $R$ i $S$ na stranici $XY$, a time i pravce $r$ i $s$, možemo odabrati na $\binom{b+1}{2}$ načina.

Odabrani pravci $p$, $q$, $r$ i $s$ omeđuju točno jedan pravokutnik unutar pravokutnika $XYZW$. Zbog toga vrijedi

$$n(XYZW)=\binom{a+1}{2}\binom{b+1}{2}.$$

Stoga je

$$n(DFCA)=n(GHBA)=\binom{n+1}{2}\binom{2n+1}{2} \qquad\text{i}\qquad n(DEBA)=\binom{n+1}{2}^2,$$

pa je

$$P=2\binom{n+1}{2}\binom{2n+1}{2}-\binom{n+1}{2}^2.$$

Napomena. Ukoliko učenik ne izvede formulu za pravokutnik dimenzija $a\times b$, ali točno izračuna traženi broj i obrazloži svoj odgovor treba dobiti sve bodove.

Drugo rješenje.

Ukupni broj pravokutnika na crtežu jednak je zbroju brojeva pravokutnika u svakom od tri $n\times n$ kvadrata, broja pravokutnika u lijevom $2n\times n$ pravokutniku koji nisu sadržani u cijelosti ni u gornjem ni u donjem $n\times n$ kvadratu, te broja pravokutnika u gornjem $n\times2n$ pravokutniku koji nisu sadržani u cijelosti ni u lijevom ni u desnom $n\times n$ kvadratu.

Svaki pravokutnik je određen odabirom pravaca na kojima leže njegove stranice. Broj načina da odaberemo lijevu i desnu stranicu pravokutnika u kvadratu dimenzija $n\times n$ je $\binom{n+1}{2}$ te je isti broj načina da odaberemo gornju i donju stranicu.

U ovom slučaju je ukupni broj pravokutnika

$$\binom{n+1}{2}^2.$$

Za pravokutnik u lijevom $2n\times n$ pravokutniku koji nije sadržan u cijelosti ni u gornjem ni u donjem $n\times n$ kvadratu, možemo na $n$ načina odabrati gornju stranicu, na $n$ načina donju stranicu, a na $\binom{n+1}{2}$ načina lijevu i desnu stranicu.

U ovom slučaju je ukupni broj takvih pravokutnika

$$n^2\binom{n+1}{2}.$$

Isti rezultat dobivamo za gornji $n\times2n$ pravokutnik.

Ukupni broj pravokutnika na crtežu je

$$3\binom{n+1}{2}^2+2n^2\binom{n+1}{2}.$$

Napomena. Napišemo li čemu su jednaki binomni koeficijenti i sredimo, dobit ćemo

$$\frac{n^2(n+1)(7n+3)}4=\frac14(7n^4+10n^3+3n^2).$$