5. Zadatak
Na karticama su zapisani svi prirodni brojevi od do . Zbroj svih tih brojeva iznosi . Manuel je odabrao kartice s brojevima čiji je zbroj jednak . Dokaži da Neva može preostale kartice rasporediti u skupine tako da u svakoj skupini budu po kartice i da zbroj brojeva na karticama u svakoj skupini bude jednak .
Kako je zbroj svih brojeva od do jednak , zaključujemo da je
Raspodijelimo sve brojeve od do u parove
tako da je svaki broj u točno jednom paru, te da je zbroj elemenata svakog para jednak .
Posebno, suma elemenata bilo kojih parova iznosi .
Pretpostavimo da je u parova (za neki ) Manuel odabrao oba broja među svoje kartice, te da je u parova (za neki ) odabrao samo jedan broj među svoje kartice. Kako je odabrao broja, vrijedi .
Neka Neva u prvom potezu u jednu skupinu smjesti preostale članove Manuelovih parova, te brojeva iz bilo kojih do sada neiskorištenih parova. Kako su sada Neva i Manuel odabrali ukupno brojeva iz parova, njihova ukupna suma je . Kako je zbroj Manuelovih brojeva jednak , zaključujemo da je i zbroj elemenata prve Nevine skupine jednak .
Nakon prvog poteza ne postoji par u kojem jedan broj jest odabran, a drugi nije. To znači da Neva može preostale brojeve razvrstati u skupine tako da u svaku od njih smjesti elemente bilo kojih parova. Tako će zbroj elemenata svake skupine iznositi , čime je tvrdnja zadatka dokazana.