4. Zadatak

Označimo

$$S=\frac{\cos 3^\circ}{\cos 6^\circ-\cos 2^\circ}+\cdots+\frac{\cos(2n+1)^\circ}{\cos(4n+2)^\circ-\cos 2^\circ}+\cdots+\frac{\cos 89^\circ}{\cos 178^\circ-\cos 2^\circ}.$$

Pomnožimo cijeli izraz za $S$ sa $\sin 1^\circ$, dobivamo

$$\sin 1^\circ\cdot S=\frac{\cos 3^\circ\sin 1^\circ}{\cos 6^\circ-\cos 2^\circ}+\cdots+\frac{\cos(2n+1)^\circ\sin 1^\circ}{\cos(4n+2)^\circ-\cos 2^\circ}+\cdots+\frac{\cos 89^\circ\sin 1^\circ}{\cos 178^\circ-\cos 2^\circ}.$$

Opći član sume u izrazu za $\sin 1^\circ\cdot S$ je oblika $\dfrac{\cos(2n+1)^\circ\sin 1^\circ}{\cos(4n+2)^\circ-\cos 2^\circ}$.

Primjenom formule pretvorbe za razliku kosinusa nazivnik možemo zapisati kao

$$\cos(4n+2)^\circ-\cos 2^\circ=-2\sin(2n+2)^\circ\sin(2n)^\circ.$$

Primjenom formule pretvorbe za produkt sinusa i kosinusa, brojnik možemo zapisati kao

$$\cos(2n+1)^\circ\sin 1^\circ=\frac12\left(\sin(2n+2)^\circ-\sin(2n)^\circ\right).$$

Ovime opći član u sumi možemo zapisati kao

$$\frac{\cos(2n+1)^\circ\sin 1^\circ}{\cos(4n+2)^\circ-\cos 2^\circ}=\frac{\sin(2n+2)^\circ-\sin(2n)^\circ}{-4\sin(2n+2)^\circ\sin(2n)^\circ}=\frac14\left(\frac1{\sin(2n+2)^\circ}-\frac1{\sin(2n)^\circ}\right).$$

Uvrštavanjem u izraz za $\sin 1^\circ\cdot S$ redom imamo

$$\begin{aligned} \sin 1^\circ\cdot S &=\frac{\cos 3^\circ\sin 1^\circ}{\cos 6^\circ-\cos 2^\circ}+\frac{\cos 5^\circ\sin 1^\circ}{\cos 10^\circ-\cos 2^\circ}+\cdots+\frac{\cos 89^\circ\sin 1^\circ}{\cos 178^\circ-\cos 2^\circ}\\ &=\frac14\left(\frac1{\sin 4^\circ}-\frac1{\sin 2^\circ}+\frac1{\sin 6^\circ}-\frac1{\sin 4^\circ}+\cdots+\frac1{\sin 90^\circ}-\frac1{\sin 88^\circ}\right)\\ &=\frac14\left(1-\frac1{\sin 2^\circ}\right). \end{aligned}$$

Konačno slijedi da je $S=\dfrac{\sin 2^\circ-1}{4\sin 1^\circ\cdot\sin 2^\circ}$, što je trebalo dokazati.