1. Zadatak

Podijelimo početnu nejednadžbu s $10^x$ i sredimo izraz na lijevoj strani nejednadžbe. Kako je $10^x$ uvijek pozitivan broj, smjer nejednakosti se ne mijenja. Redom slijedi

$$\begin{aligned} \frac{5^{2x}}{10^x}+\frac{4^x}{10^x}&<\frac{29}{10},\\ \frac{5^x}{2^x}+\frac{2^x}{5^x}&<\frac{29}{10}. \end{aligned}$$

Uvođenjem supstitucije $t=\left(\dfrac52\right)^x$ gornja nejednadžba postaje $t+\dfrac1t<\dfrac{29}{10}$.

Pomnožimo gornju nejednadžbu sa $10t$. Nejednakost se ponovno ne mijenja jer je $10t>0$. Dobivamo kvadratnu nejednadžbu $10t^2-29t+10<0$.

Rješenje kvadratne nejednadžbe je $t\in\left\langle\dfrac25,\dfrac52\right\rangle$.

Iz supstitucije $t=\left(\dfrac52\right)^x$ slijedi $\left(\dfrac52\right)^x\in\left\langle\dfrac25,\dfrac52\right\rangle$, odnosno

$$\frac25<\left(\frac52\right)^x<\frac52.$$

Primjenom $\log_{\frac52}$ na gornje nejednakosti slijedi $-1<x<1$ (baza logaritma je veća od $1$ pa se nejednakost ne mijenja), odakle dobivamo konačno rješenje $x\in\langle-1,1\rangle$.