2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka su $a$, $b$ i $c$ duljine stranica $\overline{BC}$, $\overline{AC}$ i $\overline{AB}$ trokuta $ABC$ redom, te neka su $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ mjere kutova pri vrhovima $A$, $B$ i $C$ redom. Neka je $k$ opisana kružnica trokuta $ABC$, a $R$ njezin radijus.

Kako je $\overline{AA_1}$ promjer kružnice $k$, vrijedi $|AA_1|=2R$. Nadalje, vrijedi $\angle AA_1B=\angle ACB=\gamma$ jer su to obodni kutovi nad istom tetivom.

Prema Talesovom poučku trokut kut $\angle B_1AB$ je pravi, pa slijedi

$$|A_1B|=|AA_1|\cos\angle AA_1B=2R\cos\gamma.$$

Analogno je $|B_1C|=2R\cos\alpha$ i $|C_1A|=2R\cos\beta$.

Prema poučku o sinusima vrijedi $a=2R\sin\alpha$ i $b=2R\sin\beta$.

Uvrštavanjem gornjih jednakosti i $|B_1B|=2R$ u jednakost iz tvrdnje zadatka slijedi da je potrebno dokazati

$$\cos\gamma+\cos\alpha\cos\beta=\sin\alpha\sin\beta.$$

Ta jednakost slijedi iz adicijske formule za kosinus:

$$\cos\gamma=\cos(180^\circ-\alpha-\beta)=-\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta.$$

Time je tvrdnja zadatka dokazana.

Drugo rješenje.

Koristimo oznake kao u prošlom rješenju.

Primjenom Talesovog poučka na promjere $\overline{AA_1}$ i $\overline{BB_1}$ zaključujemo da su svi kutovi u četverokutu $ABA_1B_1$ pravi, pa je to pravokutnik. Zato je $|AB_1|=|BA_1|$.

Analogno, $BCB_1C_1$ je pravokutnik, pa je $|B_1C_1|=|BC|$.

Primjenom Ptolomejevog teorema na tetivni četverokut $AC_1CB_1$ dobivamo

$$|AC_1|\cdot|B_1C|+|C_1C|\cdot|AB_1|=|AC|\cdot|B_1C_1|.$$

Uvrštavanjem gornjih jednakosti i korištenjem $|C_1C|=|B_1B|=2R$ (promjeri kružnice) slijedi tvrdnja zadatka.