5. Zadatak

Prvo rješenje.

Sljedeće nejednakosti su međusobno ekvivalentne:

$$\begin{aligned} x^2+\frac1{(x-1)^2}+\frac1{(x+1)^2}&\ge2\\ \frac{x^2(x-1)^2(x+1)^2+(x+1)^2+(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}&\ge2\\ \frac{x^6-2x^4+3x^2+2}{(x-1)^2(x+1)^2}&\ge2\\ \frac{x^6-2x^4+3x^2+2}{(x-1)^2(x+1)^2}-2&\ge0\\ \frac{x^6-2x^4+3x^2+2-2(x-1)^2(x+1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}&\ge0\\ \frac{x^6-4x^4+7x^2}{(x-1)^2(x+1)^2}&\ge0. \end{aligned}$$

Nazivnik je očito pozitivan (nije nula jer $x\ne\pm1$).

Za brojnik vrijedi

$$\begin{aligned} x^6-4x^4+7x^2&=x^2(x^4-4x^2+7)\\ &=x^2(x^4-4x^2+4+3)\\ &=x^2((x^2-2)^2+3), \end{aligned}$$

pa je nenegativan kao umnožak dvaju takvih faktora.

Zato je i

$$\frac{x^6-4x^4+7x^2}{(x-1)^2(x+1)^2}\ge0,$$

što je ekvivalentno s početnom nejednakosti, pa je tvrdnja zadatka dokazana.

Drugo rješenje.

Primijetimo najprije da su svi pribrojnici s lijeve strane nenegativni. Ako je $|x|\ge\sqrt2$ onda je $x^2\ge2$ te je nejednakost zadovoljena.

Preostaje pokazati tvrdnju za $x$ za koje je $|x|<\sqrt2$.

Za takav $x$ vrijedi $0\le x^2\le2$, a to je ekvivalentno s $-1\le x^2-1\le1$, odnosno vrijedi $|x^2-1|\le1$.

Lijeva strana zadnje nejednakosti nikad nije jednaka nuli iz uvjeta zadatka. Zato smijemo uzeti recipročnu vrijednost na obje (pozitivne) strane nejednakosti i zaključiti

$$\frac1{|x^2-1|}\ge1.$$

Primjenom A–G nejednakosti na drugi i treći pribrojnik s lijeve strane nejednakosti iz teksta zadatka dobivamo

$$\frac1{(x-1)^2}+\frac1{(x+1)^2} \ge2\sqrt{\frac1{(x-1)^2}\cdot\frac1{(x+1)^2}} =2\left|\frac1{x-1}\cdot\frac1{x+1}\right| =\frac2{|x^2-1|}\ge2.$$

Zajedno s $x^2\ge0$, zaključujemo da nejednakost vrijedi i u slučaju $|x|<\sqrt2$. Dakle, nejednakost vrijedi za sve realne $x$ različite od $-1$ i $1$.