6. Zadatak

Zbrojimo li zadane jednadžbe dobivamo:

$$(a-b)^2+c^2=10.$$

Kako su $a-b$ i $c$ cijeli brojevi, iz prethodne jednakosti imamo da je zbroj kvadrata dvaju cijelih brojeva jednak 10. Jedina dva takva kvadrata su 1 i 9 (te 9 i 1), pa posebno zaključujemo da je $c\in\{-3,-1,1,3\}$.

Ako je $c\in\{-3,3\}$, izraz $ac$ u drugoj jednadžbi djeljiv je s 3. Zato izraz $b^2$ mora davati ostatak 2 pri dijeljenju s 3 (jer takav ostatak daje i broj 23). To nije moguće ni za koji kvadrat cijelog broja, pa u ovom slučaju nema rješenja.

Ako je $c=-1$ imamo $(a-b)^2=9$, odnosno $a-b=\pm3$. Ako je $a-b=3$, uvrštavanjem u drugu jednadžbu sustava dobivamo $b^2-b-26=0$ što nema cjelobrojnih rješenja.

Ako je $a-b=-3$, iz druge jednadžbe imamo $b^2-b-20=0$. Rješenja ova kvadratne jednadžbe su $b_1=-4$, $b_2=5$, odakle dobivamo kandidate za rješenja:

$$(a,b,c)=(-7,-4,-1) \quad \text{i} \quad (a,b,c)=(2,5,-1).$$

Ako je $c=1$ ponovno imamo $(a-b)^2=9$, odnosno $a-b=\pm3$. Ako je $a-b=-3$, druga jednadžba sustava daje $b^2+b-26=0$ što nema cjelobrojnih rješenja.

Ako je $a-b=3$, dobivamo $b^2+b-20=0$. Rješenja ove kvadratne jednadžbe su $b_1=-5$, $b_2=4$, čime dobivamo nove kandidate za rješenja:

$$(a,b,c)=(-2,-5,1) \quad \text{i} \quad (a,b,c)=(7,4,1).$$

Direktnom provjerom vidimo da su sve četiri trojke

$$(a,b,c)\in\{(-7,-4,-1),(2,5,-1),(-2,-5,1),(7,4,1)\}.$$

uistinu tražena rješenja.